新潟大学(理系) 2026年 問題3
$数列 \ \{a_n\}\ の初項から第 \ n\ 項までの和 \ S_n \ が \quad S_n=\dfrac{2}{3}a_n+2\cdot 3^{n-2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ を満たすとする。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ S_1,\ \ S_2,\ \ S_3 \ \ の値をそれぞれ求めよ。$
$(2)\ \ S_{n+1}\ を \ S_n \ と \ n\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ T_n=\dfrac{S_n}{(-2)^n} \ \ とおくとき、T_n \ を \ n\ を用いて表せ。$
$(4)\ \ 数列 \ \{a_n\} \ の一般項を求めよ。$
(1)
(i)$\ \ S_1=\dfrac{2}{3}a_1+2\cdot 3^{-1} , \quad S_1=a_1 \ \ だから$
$\quad a_1=\dfrac{2}{3}a_1+\dfrac{2}{3}$
$\quad \dfrac{1}{3}a_1=\dfrac{2}{3}$
$\quad \therefore\ \ a_1=2 \qquad S_1=a_1=2$
(ii)$\ \ S_2=\dfrac{2}{3}a_2+2 , \quad S_2=S_1+a_2 \ \ だから$
$\quad 2+a_2=\dfrac{2}{3}a_2+2$
$\quad \dfrac{1}{3}a_2=0$
$\quad \therefore a_2=0 , \qquad S_2=S_1=2$
(iii)$\ \ S_3=\dfrac{2}{3}a_3+2\cdot 3 , \quad S_3=S_2+a_3 \ \ だから$
$\quad 2+a_3=\dfrac{2}{3}a_3+6$
$\quad \dfrac{1}{3}a_2=4$
$\quad \therefore a_3=12 , \qquad S_3=2+12=14$
(2)
\begin{eqnarray*} a_{n+1} &=&S_{n+1}-S_n\\ \\ &=&\big(\dfrac{2}{3}a_{n+1}+2\cdot 3^{n-1}\big)-\big(\dfrac{2}{3}a_n+2\cdot 3^{n-2}\big)\\ \\ &=&\dfrac{2}{3}a_{n+1} -\dfrac{2}{3}a_n +2\cdot 3^{n-1} - \dfrac{2}{3}\cdot 3^{n-1}\\ \end{eqnarray*} $\dfrac{1}{3}a_{n+1}=-\dfrac{2}{3}a_n + \dfrac{4}{3}\cdot 3^{n-1}$
$\therefore\ \ a_{n+1}=-2a_n+4\cdot 3^{n-1}$
$よって$
\begin{eqnarray*} S_{n+1} &=&\dfrac{2}{3}a_{n+1}+2\cdot 3^{n-1}\\ \\ &=&\dfrac{2}{3}\big\{-2a_n+4\cdot 3^{n-1}\big\}+2\cdot 3^{n-1}\\ \\ &=&-\dfrac{4}{3}a_n+8\cdot 3^{n-2}+ 6\cdot 3^{n-2}\\ \\ &=&-\dfrac{4}{3}a_n+ 14\cdot 3^{n-2}\\ \\ &=&-2\big(\dfrac{2}{3}a_n+ 2\cdot 3^{n-2}\big)+18 \cdot 3^{n-2}\\ \\ &=&-2S_n +2 \cdot 3^n\\ \end{eqnarray*}
(3)
$S_{n+1}=-2S_n +2 \cdot 3^n \ \ の両辺を \ \ (-2)^{n+1} \ \ で割って$
\begin{eqnarray*} \dfrac{S_{n+1}}{(-2)^{n+1}} &=&\dfrac{-2S_n}{(-2)^{n+1}} +\dfrac{2 \cdot 3^n}{(-2)^{n+1}}\\ \\ &=&\dfrac{-2S_n}{(-2)(-2)^n} +\dfrac{2 \cdot 3^n}{(-2)(-2)^n}\\ \\ &=&\dfrac{S_n}{(-2)^n} - \big(-\dfrac{3}{2}\big)^n\\ \end{eqnarray*}
$\therefore \ \ T_{n+1}=T_n - \big(-\dfrac{3}{2}\big)^n$
$ただし、T_1=\dfrac{S_1}{-2}=\dfrac{2}{-2}=-1$
$\{T_n\} \ は \ \ - \big(-\dfrac{3}{2}\big)^n \ \ を階差とする階差数列だから$
\begin{eqnarray*} T_n &=&T_1-\sum_{k=1}^{n-1} \big(-\dfrac{3}{2}\big)^k\\ \\ &=&-1 - \dfrac{-\dfrac{3}{2}\big\{1-\big(-\dfrac{3}{2}\big)^{n-1}\big\}}{1-\big(-\dfrac{3}{2}\big)}\\ \\ &=&-1 + \dfrac{3}{5}\big\{1-\big(-\dfrac{3}{2}\big)^{n-1}\big\}\\ \\ &=&-\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{5}\big(-\dfrac{3}{2}\big)^{n-1}\\ \end{eqnarray*}
$なお、n=1 \ のとき \ \ T_1=-1,\qquad 右辺=-\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{5}=-1 \ \ だから \ n=1\ のときも成りたつ$
(4)
\begin{eqnarray*} S_n &=&(-2)^nT_n\\ \\ &=&(-2)^n\big\{-\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{5}\big(-\dfrac{3}{2}\big)^{n-1}\big\}\\ \\ &=&-\dfrac{2}{5}(-2)^n - \dfrac{3}{5}\big(-\dfrac{3}{2}\big)^{n-1} (-2)^n\\ \\ &=&-\dfrac{2}{5}(-2)^n + \dfrac{2}{5}\big(-\dfrac{3}{2}\big)\big(-\dfrac{3}{2}\big)^{n-1} (-2)^n\\ \\ &=&-\dfrac{2}{5}(-2)^n + \dfrac{2}{5}\big(-\dfrac{3}{2}\big)^n (-2)^n\\ \\ &=&-\dfrac{2}{5}(-2)^n + \dfrac{2}{5}\times 3^n\\ \end{eqnarray*} $定義より \quad S_n=\dfrac{2}{3}a_n+2\cdot 3^{n-2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ だから$
\begin{eqnarray*} a_n &=&\dfrac{3}{2}S_n-3^{n-1}\\ \\ &=&\dfrac{3}{2}\big\{-\dfrac{2}{5}(-2)^n + \dfrac{2}{5}\times 3^n \big\} -3^{n-1}\\ \\ &=&-\dfrac{3}{5}(-2)^n + \dfrac{3}{5}\times 3^n -3^{n-1}\\ \\ &=&-\dfrac{3}{5}(-2)^n + \dfrac{3}{5}\times 3^n -\dfrac{1}{3} \times 3^n\\ \\ &=&-\dfrac{3}{5}(-2)^n + \dfrac{4}{15}\times 3^n \\ \end{eqnarray*}
メインメニュー に戻る