新潟大学(理系) 2026年　問題2


$\alpha \ と \ \beta \ を \ \alpha > 0,\ \ 0 < \beta < 1\ を満たす実数とする。三角形 \ OAB\ において、線分 \ OA\ を \ (1+\alpha) : \alpha \ に外分する$
$点を \ P,線分 \ AB\ を \ \beta :(1-\beta)\ に内分する点を \ Q、直線 \ PQ\ と辺 \ OB\ の交点を \ R\ とする。三角形 \ OAB\ の面積$
$を \ S\ と表し、\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b}\ \ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 三角形 \ AOQ\ と三角形 \ APQ\ の面積を \ \alpha,\ \ \beta,\ \ S\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ ベクトル \ \vec{OP},\ \ \vec{OQ}\ \ を \ \alpha,\ \beta,\ \vec{a},\ \vec{b}\ \ を用いて表せ。$
$(3)\ \ ベクトル \ \vec{OR}\ を \ \alpha,\ \beta,\ \vec{b}\ を用いて表せ。$
$(4)\ \ 三角形 \ APQ\ と三角形 \ BQR\ の面積が等しいとき、ベクトル \ \vec{OR}\ を \ \alpha \ と\ \vec{b}\ を用いて表せ。$


(1)

　

(i)$\ \ \triangle AOQ : \triangle AOB=AQ:AB=\beta :1$

$\quad \triangle AOQ=\beta \triangle AOB=\beta S$

(ii)$\ \ \triangle APQ : \triangle AOQ=AP:OA=\alpha : 1$

$\quad \triangle APQ=\alpha \triangle AOQ=\alpha \beta S$


(2)


$\vec{OP}=(1+\alpha )\vec{OA}=(1+\alpha)\vec{a}$

$\vec{OQ}=(1-\beta )\vec{OA}+\beta \vec{OB}=(1-\beta)\vec{a}+\beta \vec{b}$


(3)


$点\ R\ は \ PQ\ を \ (1+t):t\ に外分する点とすると$
\begin{eqnarray*} \vec{OR} &=&-t\vec{OP}+(1+t)\vec{OQ}\\ \\ &=&-t(1+\alpha)\vec{a}+(1+t)\big\{(1-\beta)\vec{a}+\beta \vec{b}\big\}\\ \\ &=&\big\{-t(1+\alpha) +(1+t)(1-\beta)\big\}\vec{a}+(1+t)\beta \vec{b}\\ \end{eqnarray*} $3\ 点 \ O,\ R,\ B\ は一直線上にあるから、\vec{OR}=k\vec{OB}=k\vec{b}\ \ とおける。$

$よって \quad -t(1+\alpha) +(1+t)(1-\beta) =0$

$-(\alpha + \beta)t+1-\beta =0$

$\therefore \ \ t=\dfrac{1-\beta}{\alpha +\beta}$

$このとき$

$\vec{OR}=(1+t)\beta \vec{b}=\big(1+\dfrac{1-\beta}{\alpha +\beta}\big) \beta \vec{b}=\dfrac{(1+\alpha)\beta}{\alpha +\beta}\vec{b}$


(4)


$\triangle OBQ : \triangle OAB=(1-\beta):1 \ \ だから$

$\triangle OBQ=(1-\beta)\triangle OAB=(1-\beta)S$

$\triangle BQR : \triangle OBQ=BR:OB=\big(1- \dfrac{(1+\alpha)\beta}{\alpha +\beta}\big) :1 =\dfrac{\alpha+\beta -(1+\alpha )\beta}{\alpha +\beta} :1$

$\triangle BQR=\dfrac{\alpha+\beta -(1+\alpha )\beta}{\alpha +\beta} \triangle OBQ = \dfrac{\alpha+\beta -(1+\alpha )\beta}{\alpha +\beta} \times (1-\beta)S$

　

$(1)より\quad \triangle APQ=\alpha \beta S$

$\triangle APQ=\triangle BQR \ \ のとき$

$\alpha \beta S=\dfrac{\alpha+\beta -(1+\alpha )\beta}{\alpha +\beta} \times (1-\beta)S$

$\alpha \beta(\alpha +\beta)=\big(\alpha+\beta -(1+\alpha )\beta\big)(1-\beta)$

$\alpha \beta(\alpha +\beta)=\alpha(1-\beta)^2$

$\beta(\alpha +\beta)=(1-\beta)^2$

$\alpha \beta=1-2\beta $

$\beta(2+\alpha )=1$

$\alpha +2 > 0 \ \ だから \quad \beta=\dfrac{1}{2+\alpha }$

\begin{eqnarray*} \vec{OR} &=&\dfrac{(1+\alpha)\beta}{\alpha +\beta}\vec{b}\\ \\ &=&\dfrac{(1+\alpha) \times \dfrac{1}{2+\alpha }}{\alpha + \dfrac{1}{2+\alpha }}\vec{b}\\ \\ &=&\dfrac{1+\alpha }{\alpha(2+\alpha )+1}\vec{b}\\ \\ &=&\dfrac{1+\alpha }{(1+\alpha )^2}\vec{b}\\ \\ &=&\dfrac{1}{1+\alpha }\vec{b}\\ \end{eqnarray*}

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