新潟大学(理系) 2026年 問題1
$n\ を\ 2 \leqq n \leqq 11 \ を満たす整数とする。n\ 人がそれぞれ \ 1\ から \ 10\ までの整数の \ 1\ つを無作為に選ぶとき、同じ$
$整数を選ぶ人が少なくとも一組は存在する確率を \ P(n) \ と表す。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ P(2),\ \ P(3),\ \ P(11)\ \ をそれぞれ求めよ。$
$(2)\ \ 2 \leqq n \leqq 10 \ \ を満たす整数 \ n\ に対して、p(n) < P(n+1) \ \ が成り立つことを示せ。$
$(3)\ \ P(n) \geqq 0.9 \ \ を満たす整数 \ n\ をすべて求めよ。$
(1)
(i)$\ \ n=2 \ \ のとき$
$\quad １\ 人目が整数を選ぶ選び方は \quad 10\ 通り$
$\quad 2\ 人目が \ 1\ 人目と異なる整数を選ぶ選び方は \quad 9\ 通り$
$\quad 2\ 人が異なる整数を選ぶ確率は \quad \dfrac{10 \times 9}{10^2}=\dfrac{9}{10}$
$\quad 2\ 人が同じ整数を選ぶ確率 \ P(2)\ はこれの余事象だから$
$\quad P(2)=1-\dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{10}$
(ii)$\ \ n=3 \ \ のとき$
$\quad １\ 人目が整数を選ぶ選び方は \quad 10\ 通り$
$\quad 2\ 人目が \ 1\ 人目と異なる整数を選ぶ選び方は \quad 9\ 通り$
$\quad 3\ 人目が \ 1\ 人目、2\ 人目と異なる整数を選ぶ選び方は \quad 8\ 通り$
$\quad 3\ 人が異なる整数を選ぶ確率は \quad \dfrac{10 \times 9 \times 8}{10^3}=\dfrac{72}{10^2}$
$\quad 3\ 人のうち、同じ整数を選ぶ人が少なくとも一組は存在する確率 \ P(3)\ はこれの余事象だから$
$\quad P(3)=1-\dfrac{72}{10^2}=\dfrac{28}{100}=\dfrac{7}{25}$
(iii)$\ \ n=11 の\ \ とき$
$\quad 11\ 人が \ 10\ 個の整数を選ぶとき、同じ数字を選ぶ人が少なくとも一組は存在する(これを鳩ノ巣原理といいます)から$
$\quad P(11)=1$
(2)
$１\ 人目が整数を選ぶ選び方は \quad 10\ 通り$
$2\ 人目が \ 1人\ 目と異なる整数を選ぶ選び方は \quad 10-(2-1)=9\ 通り$
$\ 3人目が \ 1\ 人目、2\ 人目と異なる整数を選ぶ選び方は \quad 10-(3-1)=8\ 通り$
$\hspace{5em}\vdots $
$n\ 人目が \ 1～(n-1)\ 人目と異なる整数を選ぶ選び方は \quad 10-(n-1)=(11-n)\ 通り$
$n\ 人が異なる整数を選ぶ確率は \quad \dfrac{10 \times 9 \times \cdots \times (11-n)}{10^n}=\dfrac{9 \times 8 \times \cdots \times (11-n)}{10^{n-1}}$
$n\ 人のうち、同じ整数を選ぶ人が少なくとも一組は存在する確率 \ P(n)\ はこれの余事象だから$
$P(n)=1-\dfrac{9 \times 8 \times \cdots \times (11-n)}{10^{n-1}}$
$よって$
\begin{eqnarray*} & &P(n+1)-P(n)\\ \\ &=&\big(1-\dfrac{9 \times 8 \times \cdots \times (11-(n+1))}{10^n}\big)-\big(1-\dfrac{9 \times 8 \times \cdots \times (11-n)}{10^{n-1}}\big)\\ \\ &=&-\dfrac{9 \times 8 \times \cdots \times (11-(n+1))}{10^n}+ \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times (11-n)}{10^n}\\ \\ &=&\dfrac{9 \times 8 \times \cdots \times (11-n))}{10^n} \times \big(10-(11-(n+1)\big)\\ \\ &=&\dfrac{9 \times 8 \times \cdots \times (11-n))}{10^n} \times n\\ \\ &>&0 \end{eqnarray*}
$よって \quad 2 \leqq n \leqq 10 \ \ を満たす整数 \ n\ に対して、P(n) < P(n+1) \ \ が成り立つ。$
(3)
$P(n) \geqq 0.9 \ \ は (2)より$
$1-\dfrac{9 \times 8 \times \cdots \times (11-n)}{10^{n-1}} \geqq 0.9$
$\dfrac{9 \times 8 \times \cdots \times (11-n)}{10^{n-1}} \leqq 0.1$
$9 \times 8 \times \cdots \times (11-n) \leqq 10^{n-2}$
$n=3 \ \ のとき \quad 9 \times 8 =72 \geqq 10 $
$n=4 \ \ のとき \quad 9 \times 8 \times 7=504 \geqq 10^2 $
$n=5 \ \ のとき \quad 9 \times 8 \times 7 \times 6=3024 \geqq 10^3 $
$n=6 \ \ のとき \quad 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5=15120 \geqq 10^4 $
$n=7 \ \ のとき \quad 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4=60480 \leqq 10^5 \quad \therefore P(7) \geqq 0.9$
$(2) より \ \ P(n) < P(n+1) \ \ が成りたつから \quad P(2) < P(3) < \cdots < P(11) $
$よって \ \ P(n) \geqq 0.9 \ \ を満たす整数 \ n\ は \quad n=7,\ \ 8,\ \ 9,\ \ 10,\ \ 11$
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