新潟大学(理系) 2025年　問題3


$2\ 次方程式 \ \ x^2-x-1=0\ \ の解 \ \alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\ \ \beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\ \ に対して、数列 \ \{a_n\} を \ \ a_n=\alpha ^{n-1} + \beta^{n-1}$
$(n=1,2,3,\cdots )により定める。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_1,\ \ a_2,\ \ a_3,\ \ a_4,\ \ a_5\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ 自然数 \ n \ に対して、\alpha ^{n+1} -\alpha ^n=\alpha ^{n-1} ,\ \ \beta ^{n+1} -\beta ^n=\beta ^{n-1} \ \ が成り立つことを示せ。$
$(3)\ \ 数列\{a_n\} の階差数列を\{b_n\} とする。すなわち、 b_n=a_{n+1}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ である。$
$\quad b_1\ を求めよ。また、 n \geqq 2 \ に対して、b_n=a_{n-1} \ \ が成り立つことを示せ。$
\[(4)\ \ 自然数 \ n\ に対して、\sum_{k=1}^n a_k =a_{n+2} -1 \ \ が成り立つことを示せ。\] \[(5)\ \ 自然数 \ n\ に対して、\sum_{k=1}^n a_k^2 =a_na_{n+1} +2 \ \ が成り立つことを示せ。\]


(1)


$x^2-x-1=0\ \ の解が \ \alpha ,\ \ \beta \ \ だから解と係数の関係より \quad \alpha + \beta =1, \quad \alpha \beta =-1$

$a_1=\alpha ^0 + \beta ^0=1+1=2$

$a_2=\alpha + \beta =1$

$a_3=\alpha ^2 + \beta ^2=(alpha + \beta )^2-2\alpha \beta=1^2-2 \times (-1)=3$

$a_4=\alpha ^3 + \beta ^3=(alpha + \beta )^3-3\alpha \beta(\alpha + \beta)=1^3-3 \times (-1) \times 1=4$

$a_5=\alpha ^4 + \beta ^4=(alpha ^2 + \beta ^2 )^2-2\alpha ^2 \beta ^2=3^2-2 \times (-1) ^2=7$


(2)


$\alpha ,\ \ \beta \ \ は \ \ x^2-x-1=0\ \ の解だから \quad \alpha ^2 - \alpha -1=0, \quad \beta ^2-\beta -1=0$

$このとき$

$\alpha ^{n+1} -\alpha ^n -\alpha ^{n-1}=\alpha ^{n-1}(\alpha ^2 - \alpha -1)=\alpha ^{n-1} \times 0=0 \quad よって \quad \alpha ^{n+1} -\alpha ^n =\alpha ^{n-1}$

$\beta ^{n+1} -\beta ^n -\beta ^{n-1}=\beta ^{n-1}(\beta ^2 - \beta -1)=\beta ^{n-1} \times 0=0 \quad よって \quad \beta ^{n+1} -\beta ^n =\beta ^{n-1}$


(3)


$b_1=a_2-a_1=1-2=-1$

$a_n=\alpha ^{n-1} + \beta^{n-1} \quad だから \ \ n \geqq 2 \ \ のとき$
\begin{eqnarray*} b_n &=&a_{n+1}-a_n\\ \\ &=&(\alpha ^n + \beta^n) - (\alpha ^{n-1} + \beta^{n-1})\\ \\ &=&(\alpha ^n - \alpha ^{n-1}) + (\beta^n - \beta^{n-1})\\ \\ &=&\alpha ^{n-2} + \beta^{n-2} \hspace{5em} ((2) より)\\ \\ &=&a_{n-1} \end{eqnarray*}

(4)


$(3)で \ \ n \longrightarrow n+1 \ \ とおくと \quad 　b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n} \quad だから$
\begin{eqnarray*} & &\sum_{k=1}^n a_k\\ \\ &=&\sum_{k=1}^n (a_{k+2}-a_{k+1}) \\ \\ &=&(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+ \cdots + (a_{n+1}-a_n)+(a_{n+2}-a_{n+1})\\ \\ &=&a_{n+2}-a_2\\ \\ &=&a_{n+2}-1\\ \end{eqnarray*}

(5)


$\alpha + \beta =1, \quad \alpha \beta =-1,\quad \alpha ^2-\alpha -1=0,\quad \beta ^2-\beta-1=0 \ \ だから$

\begin{eqnarray*} a_n^2 &=&(\alpha ^{n-1} + \beta^{n-1})^2\\ \\ &=&(\alpha ^{n-1})^2+(\beta^{n-1})^2 +2\alpha^{n-1}\beta^{n-1}\\ \\ &=&(\alpha ^2)^{n-1} +(\beta^2)^{n-1} +2(\alpha \beta)^{n-1}\\ \\ &=&(\alpha ^2)^{n-1} +(\beta^2)^{n-1} +2(-1)^{n-1}\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \sum _{k=1}^na_k^2 &=&\sum_{k=1}^n\big\{(\alpha ^2)^{k-1} +(\beta^2)^{k-1} +2(-1)^{k-1}\big\}\\ \\ &=&\cfrac{(\alpha ^2)^n -1}{\alpha ^2 -1} +\cfrac{(\beta ^2)^n -1}{\beta ^2 -1}+2 \times \cfrac{1-(-1)^n}{1-(-1)}\\ \\ &=&\cfrac{\alpha ^{2n} -1}{\alpha } +\cfrac{\beta ^{2n} -1}{\beta }+ 1-(-1)^n \\ \\ &=&\cfrac{\beta(\alpha ^{2n} -1)+\alpha(\beta ^{2n} -1)}{\alpha \beta }+ 1-(-1)^n \\ \\ &=&\cfrac{(\alpha \beta)\alpha ^{2n-1} +(\alpha \beta)\beta ^{2n-1} -(\alpha +\beta)}{\alpha \beta}+ 1-(-1)^n \\ \\ &=&\alpha ^{2n-1} + \beta ^{2n-1} +2 +(-1)^n \end{eqnarray*} $一方$
\begin{eqnarray*} a_na_{n+1}+2 &=&(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})(\alpha^n+\beta^n)+2\\ \\ &=&\alpha^{2n-1}+\beta^{2n-1} +\alpha^{n-1}\beta^n + \alpha^n \beta^{n-1}+2\\ \\ &=&\alpha^{2n-1}+\beta^{2n-1} +\beta(\alpha \beta)^{n-1} + \alpha (\alpha \beta)^{n-1}+2\\ \\ &=&\alpha^{2n-1}+\beta^{2n-1} +(\alpha \beta)^{n-1}(\alpha +\beta)+2\\ \\ &=&\alpha^{2n-1}+\beta^{2n-1} +(-1)^{n-1}+2\\ \\ &=&\alpha^{2n-1}+\beta^{2n-1} +2-(-1)^n \\ \end{eqnarray*}
\[よって \quad \sum _{k=1}^na_k^2=a_na_{n+1}+2\]

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