新潟大学(理系) 2025年　問題2


\[実数 \ t\ に対して、F(t)=\int_0^t e^{-2x}\sin ^2xdx \ \ とおく。ただし、e\ は自然対数の底である。\] $次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ -\dfrac{\pi}{2} x < \dfrac{\pi}{2} \ \ の範囲において、関数 \ \ y=e^{-2x}\sin ^2x \ \ の極値を求めよ。$
\[(2)\ \ 実数 \ t\ に対して、I(t)=\int_0^t e^{-2x}\cos 2xdx ,\quad J(t)=\int_0^t e^{-2x}\sin 2xdx \ \ とおく。\] $このとき、次の \ 3\ つの等式 \ (a),\ (b),\ (c)\ が成り立つことを示せ。$

$\quad (a)\ \ F(t)=-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin ^2t + \dfrac{1}{2}J(t)$

$\quad (b)\ \ I(t)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\cos 2t - J(t)$

$\quad (c)\ \ J(t)=-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin 2t + I(t)$
\[(3)\ \ 極限値 \ \ \lim_{t \rightarrow \infty} F(t) \ \ を求めよ。\]


(1)


$y=e^{-2x}\sin ^2x \ \ より$

$y'=-2e^{-2x}\sin ^2x + 2e^{-2x}\sin x \cos x =2e^{-2x}\sin x (\cos x - \sin x)$

$y'=0 \ \ を満たす \ x\ は$

(i)$\ \ \sin x =0 \ \ より \quad x=0$

(ii)$\ \ \cos -\sin x=0 \ \ より \quad \tan x=1 \qquad x=\cfrac{\pi}{4}$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x& -\dfrac{\pi}{2} & \cdots & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{4} & \cdots & \dfrac{\pi}{2}\\ \hline y'& & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline y& & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$x=0\ で極小となり、極小値は \ \ y=0$

$x=\cfrac{\pi}{4} \ で極大となり、極大値は \ \ y=e^{\scriptsize{-\dfrac{\pi}{2}}}(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^2=\cfrac{1}{2}e^{\scriptsize{-\dfrac{\pi}{2}}}$

$なお、グラフは右図のとおりです。$


(2)


$(a) について$
\begin{eqnarray*} F(t) &=&\int_0^t e^{-2x}\sin ^2xdx\\ \\ &=&\big[-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\sin ^2x \big]_0^t - \int_0^t \big(-\dfrac{1}{2}e^{-2x}(2\sin x \cos x)\big)dx\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin ^2t + \cfrac{1}{2}\int_0^t e^{-2x}\sin 2xdx\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin ^2t + \dfrac{1}{2}J(t) \end{eqnarray*}
$(b) について$
\begin{eqnarray*} I(t) &=&\int_0^t e^{-2x}\cos 2xdx\\ \\ &=&\big[-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\cos 2x \big]_0^t - \int_0^t \big(-\dfrac{1}{2}e^{-2x}(-2\sin 2x )\big)dx\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\cos 2t - \int_0^t e^{-2x} \sin 2x dx\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\cos 2t - J(t) \end{eqnarray*}
$(c) について$
\begin{eqnarray*} J(t) &=&\int_0^t e^{-2x}\sin 2xdx\\ \\ &=&\big[-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\sin 2x \big]_0^t - \int_0^t \big(-\dfrac{1}{2}e^{-2x}(2\cos 2x )\big)dx\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin 2t + \int_0^t e^{-2x} \cos 2x dx\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin 2t + I(t) \end{eqnarray*}

(3)


$(b)+(c)\ より$
\[I(t)+J(t)=\big\{\cfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\cos 2t - J(t)\big\}+ \big\{-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin 2t + I(t)\big\}\] \[2J(t)=\cfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\cos 2t -\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin 2t \] \[\therefore \ \ \cfrac{1}{2}J(t)=\cfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}e^{-2t}\cos 2t -\dfrac{1}{8}e^{-2t}\sin 2t \] $これを(a)に代入して$
\begin{eqnarray*} F(t) &=&-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin ^2t + \big\{\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}e^{-2t}\cos 2t -\dfrac{1}{8}e^{-2t}\sin 2t \big\}\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}e^{-2t} \times \dfrac{1}{2}(1-\cos 2t) + \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{8}e^{-2t}\cos 2t -\dfrac{1}{8}e^{-2t}\sin 2t \\ \\ &=&\cfrac{1}{8} -\dfrac{1}{4}e^{-2t} + \dfrac{1}{8}e^{-2t} \cos 2t -\dfrac{1}{8}e^{-2t}\sin 2t \\ \\ &=&\cfrac{1}{8} -\dfrac{1}{4}e^{-2t} + \dfrac{1}{8}e^{-2t} (\cos 2t - \sin 2t) \\ \\ &=&\cfrac{1}{8} -\dfrac{1}{4}e^{-2t} + \dfrac{\sqrt{2}}{8}e^{-2t} \cos (2t + \dfrac{\pi}{4}) \\ \end{eqnarray*}
$t \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad e^{-2t} \longrightarrow 0 \ \ だから \quad |e^{-2t} \cos (2t + \dfrac{\pi}{4})| \leqq e^{-2t} \longrightarrow 0$

$ 0 \leqq |e^{-2t} \cos (2t + \dfrac{\pi}{4})| \quad だからはさみうちの原理により \quad e^{-2t} \cos (2t + \dfrac{\pi}{4}) \longrightarrow 0$
\[よって \quad \lim_{t \rightarrow \infty} F(t) =\cfrac{1}{8}\]

$(研究)$

$(3)の別解として$

$(b)より \ \ I(t) +J(t)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}e^{-2t}\cos 2t $

$(c)より \ \ I(t) -J(t)=\dfrac{1}{2}e^{-2t}\sin 2t $

$t \longrightarrow \infty \ \ のとき$

$\quad I(t)+J(t) \longrightarrow \dfrac{1}{2}$

$\quad I(t)-J(t) \longrightarrow 0$

$差をとって \ \ J(t) \longrightarrow \dfrac{1}{4}$

$(a)より \quad F(t)=-\dfrac{1}{2}e^{-2t} \sin ^2 t + \dfrac{1}{2}J(t) \longrightarrow \dfrac{1}{8}$

$この解答は正しいでしょうか。実はよくないのです!!$
\[\lim _{t \rightarrow \infty} \big\{I(t)+J(t)\big\} =\dfrac{1}{2},\quad \lim _{t \rightarrow \infty} \big\{I(t)-J(t)\big\} =0\] $これはよいのですが、このあと差をとったのは$
\[\lim _{t \rightarrow \infty} \big\{I(t) \pm J(t)\big\} =\lim _{t \rightarrow \infty} I(t) \pm \lim _{t \rightarrow \infty} J(t)　の公式が使われているのですが、\] $これが成りたつのは、I(t),J(t) がともに有限な極限値をもつ場合です。$

$実はこれがまだ証明されていないのです。$

$それでも、極限値が一致したのは次のようにともに極限値をもつからです。$

$J(t),\ \ I(t)\ \ の極限値$

$(a)より$

$J(t)=2F(t)+e^{-2t}\sin ^2t=2F(t)+\cfrac{1}{2}e^{-2t}(1-\cos 2t)=2F(t)+\cfrac{1}{2}e^{-2t}-\cfrac{1}{2}e^{-2t}\cos 2t \ \ だから$

$t \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad J(t) \longrightarrow 2F(t)=\cfrac{1}{4}$

$(c)より$

$I(t)=J(t)+\cfrac{1}{2}e^{-2t}\sin 2t\ \ だから$

$t \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad I(t) \longrightarrow J(t)=\cfrac{1}{4}$


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