新潟大学(理系) 2024年　問題5


$a\ を \ 0 < a < 1\ となる実数とする。座標平面上において、長さが \ 4\ の線分 \ PQ\ を考える。線分 \ PQ\ の端点 \ P\ は$
$x\ 軸上を、端点 \ Q\ は \ y\ 軸上を動くとき、線分 \ PQ\ を \ a:(1-a)\ の比に内分する点 \ R\ の軌跡は楕円になる。$
$この楕円を \ C\ とする。ただし、円は楕円の特別な場合とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 楕円 \ C\ の方程式を \ a\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 楕円 \ C\ で囲まれた部分と連立不等式$
\[\qquad \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} x \geqq 0\\ \sqrt{3}ax \geqq (1-a)y\\ \end{array} \right. \] $\quad の表す領域の共通部分の面積を \ S\ とする。S\ を \ a\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 面積 \ S\ の最大値とそのときの \ a\ の値を求めよ。$


(1)

　
$P(t,\ 0),\ \ Q(0,\ u)\ とおくと \ R(x,\ y)\ は線分 \ PQ\ を$

$a:(1-a)\ の比に内分する点だから$

$x=(1-a)t,\qquad y=au$

$\therefore \ \ t=\cfrac{x}{1-a},\qquad u=\cfrac{y}{a}$

$PQ=4 \quad より \quad PQ^2=16 \qquad t^2+u^2=16$

$よって \quad \big(\cfrac{x}{1-a}\big)^2+\big(\cfrac{y}{a}\big)^2=16$

$\cfrac{x^2}{16(1-a)^2}+ \cfrac{y^2}{16a^2}=1$

$これが楕円 \ C\ の方程式である。$


(2)

　
$\sqrt{3}ax \geqq (1-a)y \quad より \quad y \leqq \cfrac{\sqrt{3}a}{1-a} x$

$y =\cfrac{\sqrt{3}a}{1-a} x \ \ を \ \ \ell \ \ とおく。$

$楕円 \ C\ で囲まれた部分と連立不等式の表す領域の共通部分は$

$右図の紫色で表された部分であるが、先に水色で表された部分$

$の面積 \ S_1\ を求める。$

$C \ と \ \ell \ の交点は$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{x^2}{16(1-a)^2}+ \cfrac{y^2}{16a^2}=1 \hspace{5em}①\\ y =\cfrac{\sqrt{3}a}{1-a} x \hspace{10em}②\\ \end{array} \right. \] $②を①に代入して$

$\cfrac{x^2}{(1-a)^2}+ \cfrac{3a^2x^2}{a^2(1-a)^2}=16$

$\cfrac{4x^2}{(1-a)^2} =16$

$x^2=4(1-a)^2$

$x \geqq 0 \ \ より \ \ x=2(1-a)$

$①式は \quad y=\cfrac{a}{1-a}\sqrt{16(1-a)^2-x^2} \quad だから$

\begin{eqnarray*} S_1 &=&\int _0^{2(1-a)} \big(\cfrac{a}{1-a}\sqrt{16(1-a)^2-x^2} - \cfrac{\sqrt{3}a}{1-a} x \big)dx\\ \\ &=&\cfrac{a}{1-a}\int _0^{2(1-a)} \big(\sqrt{16(1-a)^2-x^2} - \sqrt{3} x \big) dx\\ \\ \end{eqnarray*}

　
$この定積分からわかるように、S_1\ \ の積分部分は右図のとおり、$

$半径 \ 4(1-a),\quad 中心角 \ \cfrac{\pi}{6}\ \ の扇形の面積に一致する。$

$S_1=\cfrac{a}{1-a} \times \pi \big(4(1-a)\big)^2 \times \cfrac{1}{12}=\cfrac{4}{3}\pi a (1-a)$

$求める面積Sは$
\begin{eqnarray*} S &=&\cfrac{1}{2} \times (楕円の面積) -S_1\\ \\ &=&\cfrac{1}{2} \times \pi \times 4(1-a) \times 4a -\cfrac{4}{3}\pi a (1-a)\\ \\ &=&8\pi a(1-a)-\cfrac{4}{3}\pi a (1-a)\\ \\ &=&\cfrac{20}{3}\pi a (1-a)\\ \end{eqnarray*}

(3)

　
\begin{eqnarray*} S &=&\cfrac{20}{3}\pi a (1-a)\\ \\ &=&-\cfrac{20}{3}\pi (a^2-a)\\ \\ &=&-\cfrac{20}{3}\pi \big\{(a-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}\big\}\\ \\ &=&-\cfrac{20}{3}\pi (a-\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{5}{3}\pi \\ \end{eqnarray*}
$0< a < 1 \quad だから \quad a=\cfrac{1}{2} \ \ のとき \ S\ は最大値 \ \ \cfrac{5}{3}\pi \ \ をもつ。$


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