名古屋大学(理系) 2025年　問題2


$整数 \ a,\ b,\ c\ に対し、次の条件を考える。\qquad(*) \quad a \geqq b \geqq 0 \ \ かつ \ \ a^2-b^2=c$
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ c=24,\ \ 25,\ \ 26\ \ それぞれの場合に条件(*) をみたす整数の組 \ (a,\ b)\ をすべて求めよ。$
$(2)\ \ p\ は \ 3\ 以上の素数、n\ は正の整数、c=4p^{2n}\ \ とする。このとき、条件(*) をみたす整数の組 \ (a,\ b)\ を$
$\quad すべて求めよ。$

(1)


(i)$\ \ c=24\ \ の場合$

$(a-b)(a+b)=24$

$a-b=1,\quad a+b=24 \ \ のとき \quad 2a=25 \ \ となって左辺偶数、右辺奇数だから不適$

$a-b=2,\quad a+b=12 \ \ のとき \quad 2a=14 \quad a=7 \ \ よって \ \ b=5$

$a-b=3,\quad a+b=8 \ \ のとき \quad 2a=11 \ \ となって左辺偶数、右辺奇数だから不適$

$a-b=4,\quad a+b=6 \ \ のとき \quad 2a=10 \quad a=5 \ \ よって \ \ b=1$

$以上より \quad (a,\ b)=(7,\ 5),\ \ (5,\ 1)$

(ii)$\ \ c=25\ \ の場合$

$a-b=1,\quad a+b=25 \ \ のとき \quad 2a=26 \quad a=13 \ \ よって \ \ b=12$

$a-b=5,\quad a+b=5 \ \ のとき \quad 2a=10 \quad a=5 \ \ よって \ \ b=0$

$以上より \quad (a,\ b)=(13,\ 12),\ \ (5,\ 0)$

(iii)$\ \ c=26\ \ の場合$

$a-b=1,\quad a+b=26 \ \ のとき \quad 2a=27 \ \ となって左辺偶数、右辺奇数だから不適$

$a-b=2,\quad a+b=13 \ \ のとき \quad 2a=15 \ \ となって左辺偶数、右辺奇数だから不適$

$以上より \ \ これを満たす \ (a,\ b)\ はない。$


(2)


$a^2-b^2=4p^{2n}\ \ より $

$(a-b)(a+b)=4p^{2n}$

$\dfrac{a-b}{2} \times \dfrac{a+b}{2}=p^{2n}$

$p\ は \ 3\ 以上の素数 だから \ \ \dfrac{a-b}{2}\ \ も \ \ \dfrac{a+b}{2}\ \ もともに \ p^k \ の形の数である。$

$\dfrac{a-b}{2}=p^l ,\ \ \dfrac{a+b}{2}=p^m \ \ とおくと \quad l \leqq m ,\quad l+m=2n$

$a=p^m + p^l,\quad b=p^m - p^l$

$l=0,\ \ m=2n \ \ のとき \quad a=p^{2n}+1,\quad b=p^{2n}-1$

$l=1,\ \ m=2n-1 \ \ のとき \quad a=p^{2n-1}+p,\quad b=p^{2n-1}-p$

$l=2,\ \ m=2n-2 \ \ のとき \quad a=p^{2n-2}+p^2,\quad b=p^{2n-2}-p^2$

$\hspace{10em} \vdots$

$l=n,\ \ m=n \ \ のとき \quad a=p^n+p^n=2p^n,\quad b=p^n-p^n=0$

$以上より \quad (a,\ b)=(p^{2n}+1,\ p^{2n}-1),\ \ (p^{2n-1}+p,\ p^{2n-1}-p),\ \ (p^{2n-2}+p^2,\ p^{2n-2}-p^2),\ \cdots ,\ (2p^n,\ 0)$


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