名古屋大学(理系) 2018年　問題3


$p\ を素数、a,\ b\ を整数とする。このとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ (a+b)^p-a^p-b^p\ \ は \ p\ で割り切れることを示せ。$
$(2)\ \ (a+2)^p-a^p \ \ は偶数であることを示せ。$
$(3)\ \ (a+2)^p-a^p \ \ を \ 2\ p\ で割ったときの余りを求めよ。$


$(解説)$

$(1)は二項係数を調べます。$
$(2)は \ 2\ でくくれれることを示します。$
$(3)\ \ 素数には \ 2\ が含まれるから分けて考えます。$

(1)


(i)$\ \ p=2 \quad のとき$

$\quad (a+b)^2-a^2-b^2=2ab \quad だから \quad p=2\ で割り切れる。$

(ii)$\ \ p \ne 2 \quad の素数とき$

$\quad (a+b)^p-a^p-b^p=_pC_1a^{p-1}b+_pC_2a^{p-2}b^2+\cdots + _pC_{p-1}a b^{p-1}$

$二項係数は \quad k=1,\ 2,\ \cdots .\ p-1 \quad として$

$\quad _pC_k=\cfrac{p(p-1)\cdots 3 \cdot 2 \cdot 1}{k!(p-k)!}=\cfrac{p(p-1)\cdots (p-k+1)}{k!}$

$これは整数であり、p\ は \ 2\ でない素数だから \ 1\ と \ p\ 以外に約数をもたないので$
$p\ は \ k,\ k-1,\ \cdots ,\ 3,\ 2\ で割り切れない。$

$したがって、p\ は約分されすに残るから \ \ _pC_k \ \ は \ p\ の倍数である。$

$よって\quad (a+b)^p-a^p-b^p\ \ は \ p\ で割り切れる。$


$具体例で確認しましょう。$

$\quad p=5 \quad とすると$

$\quad _5C_1=5,\quad _5C_2=\cfrac{5 \times 4}{2!},\quad _5C_3=\cfrac{5 \times 4 \times 3}{3!},\quad _5C_4=\cfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{1!}$

$このように \ p=5\ は約分されないで残るから\ _5C_k\ は\ 5\ の倍数である。$


(i),(ii)$より \quad (a+b)^p-a^p-b^p \quad は \ p\ で割り切れる。$


(2)


\begin{eqnarray*} (a+2)^p-a^p &=&_pC_1a^{p-1}2+_pC_2a^{p-2}2^2+\cdots + _pC_{p-1}a 2^{p-1}+_pC_p2^p\\ \\ &=&2(_pC_1a^{p-1}+_pC_2a^{p-2}2+\cdots + _pC_{p-1}a 2^{p-1}+_pC_p2^{p-1})\\ \end{eqnarray*} $\qquad _pC_1 , \quad _pC_2, \quad \cdots , \quad _pC_p \ \ は整数だから \quad (a+2)^p-a^p \ \ は \ 2\ の倍数である。$


(3)


\begin{eqnarray*} (a+2)^p-a^p &=&_pC_1a^{p-1}2+_pC_2a^{p-2}2^2+\cdots + _pC_{p-1}a 2^{p-1}+_pC_p2^p\\ \\ &=&2(_pC_1a^{p-1}+_pC_2a^{p-2}2+\cdots + _pC_{p-1}a 2^{p-2})+2^p\\ \end{eqnarray*} $(1)より \quad _pC_1,\quad _pC_2, \quad \cdots ,\quad _pC_{p-1} は \ p\ で割り切れるから$

$\quad _pC_1a^{p-1}+_pC_2a^{p-2}2+\cdots + _pC_{p-1}a 2^{p-2}=pk\ \ (kは整数)\quad とおける。$

$よって　(a+2)^p-a^p=2pk+2^p$

$p\ は素数だから$

(i)$\ \ p=2 \quad のとき$

$\qquad (a+2)^2-a^2=4a+4=4(a+1)$

$よって \quad 2p=4 \ \ で割った余りは \ 0$

(ii)$\ \ p \ne 2 \quad の素数のとき$

$\quad (a+2)^p-a^p=2pk+2^p\ \ の \ 2^p\ を調べればよい。$

$\quad 2\ と \ p\ は互いに素だから、フェルマーの小定理より$
$\qquad (このことについては($フェルマーの小定理$)を参考にしてください。)$

$\quad 2^{p-1} \equiv 1 \quad (\mod p \ ) \quad すなわち \quad 　2^{p-1}=mp+1 \quad (mは整数)$

$両辺を2倍して$

$\quad 2^p=m(2p)+2$

$よって \quad 2^p \ を \ 2p\ で割った余りは \ 2$

$具体例で確認しましょう。$

$\quad p=3 \quad とすると$

$\quad (a+2)^3-a^3=6a^2+12a+8=6(a^2+2a+1)+2$

$このように \ 2p=6\ で割った余りは \ 2\ となります。$



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