名古屋大学(理系) 2018年 問題1
\[自然数 \ n\ に対し、定積分 \ \ I_n=\int _0^1\cfrac{x^n}{x^2+1}dx \ \ を考える。このとき、次の問いに答えよ。\] \[(1)\ \ I_n+I_{n+2}=\cfrac{1}{n+1}\ \ を示せ。\] \[(2)\ \ 0 \leqq I_{n+1} \leqq I_n \leqq \cfrac{1}{n+1}\ \ を示せ。\] \[(3)\ \ \lim _{n \rightarrow \infty} n I_n \ \ を求めよ。\] \[(4)\ \ S_n=\sum _{k=1}^n \cfrac{(-1)^{k-1}}{2k} \ \ とする。このとき(1),(2)を用いて \ \ \lim _{n \rightarrow \infty} S_n \ \ を求めよ。\]
$(解説)$
$(1)はごく普通に計算すれば求まります。$
$(2)は不等号を順に示していけばいいでしょう。$
$(3)は(1)と(2)をつかって、nI_n \ を \ n\ の分数式で挟みます。$
$(4)は \ S_n\ の形からどのように(1)をつかえばよいか考えます。(2)は極限をとるときにつかわれます。$
$\quad (3)とは無関係です。$
(1)
\[I_n+I_{n+2}=\int _0^1\cfrac{x^n}{x^2+1}dx +\int _0^1\cfrac{x^{n+2}}{x^2+1}dx=\int _0^1\cfrac{x^n + x^{n+2}}{x^2+1}dx =\int _0^1\cfrac{x^n(1+ x^2)}{x^2+1}dx=\int _0^1x^n dx=\cfrac{1}{n+1}\]
(2)
(i)\[\cfrac{x^{n+1}}{x^2+1} \geqq 0 \quad より \quad I_{n+1}=\int _0^1 \cfrac{x^{n+1}}{x^2+1}dx \geqq 0\]
(ii)$\ \ 積分区間が\ \ 0 \leqq x \leqq 1 \quad より \quad 1-x \geqq 0 \quad だから \quad x^n - x^{n+1}=x^n(1-x) \geqq 0 \quad より$
\[I_n-I_{n+1}=\int _0^1 \cfrac{x^n-x^{n+1}}{x^2+1}dx \geqq 0 \quad よって \quad I_{n+1} \leqq I_n\]
(iii)$\ \ $(i)$と同様にして \quad I_{n+2} \geqq 0 \quad また (1)で示した I_n +I_{n+2}=\cfrac{1}{n+1} \quad より$
$\qquad I_{n+2}=\cfrac{1}{n+1}-I_n \geqq 0 \qquad \therefore I_n \leqq \cfrac{1}{n+1}$
(i),(ii),(iii) より $\quad 0 \leqq I_{n+1} \leqq I_n \leqq \cfrac{1}{n+1}$
(3)
$(1)で示した \quad I_n +I_{n+2}=\cfrac{1}{n+1} \quad より \quad nI_n +nI_{n+2}=\cfrac{n}{n+1}$
$nI_n +\cfrac{n}{n+2} \cdot (n+2)I_{n+2}=\cfrac{n}{n+1}$
$n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad nI_n \longrightarrow \alpha \quad ならば \quad (n+2)I_{n+2} \longrightarrow \alpha $
$よって \alpha +1 \times \alpha =1 \quad より \quad \alpha =\cfrac{1}{2}$
\[\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} n I_n =\cfrac{1}{2}\]
\[これでいいような気がしますが、\lim _{n \rightarrow \infty} n I_n \quad の存在を仮定していますので厳密ではありません。\]
$そこで次のようにします。$
(i)$\ \ (2)より \quad I_{n+1} \leqq I_n \quad だから \quad 数列 \ \{I_n\}\ は減少数列である。$
$\qquad I_{n+2}=\cfrac{1}{n+1}-I_n \quad で \quad I_n \geqq I_{n+2} \quad だから \quad I_n \geqq \cfrac{1}{n+1}-I_n \qquad \therefore \cfrac{1}{2(n+1)} \leqq I_n$
(ii)$\ \ 上式で \quad n \longrightarrow n-2 \quad とおいて \quad I_n=\cfrac{1}{n-1}-I_{n-2}$
$\qquad I_{n-2}=\cfrac{1}{n-1}-I_n \quad で \quad I_n \leqq I_{n-2} \quad だから \quad I_n \leqq \cfrac{1}{n-1}-I_n \qquad \therefore I_n \leqq \cfrac{1}{2(n-1)}$
(i),(ii)$より \quad \cfrac{1}{2(n+1)} \leqq I_n \leqq \cfrac{1}{2(n-1)} \qquad \therefore \cfrac{n}{2(n+1)} \leqq nI_n \leqq \cfrac{n}{2(n-1)}$
$\qquad n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad \cfrac{n}{2(n+1)} \longrightarrow \cfrac{1}{2},\qquad \cfrac{n}{2(n-1)} \longrightarrow \cfrac{1}{2} \quad だから$
\[はさみうちの原理により \quad \lim _{n \rightarrow \infty} n I_n =\cfrac{1}{2}\]
(4)
$(1)より I_n+I_{n+2}=\cfrac{1}{n+1} \quad をつかって$
\begin{eqnarray*} & &(I_1+I_3)-(I_3+I_5)+(I_5+I_7)- \cdots +(-1)^{n-1}(I_{2n-1}+I_{2n+1})\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}- \cdots +(-1)^{n-1}\cfrac{1}{2n}\\ \\ &=&S_n \end{eqnarray*}
$一方 左辺=I_1+(-1)^{n-1}I_{2n+1}$
$また、(2)より \quad 0 \leqq I_{2n+1} \leqq I_{2n} \leqq \cfrac{1}{2n+1} \quad で \quad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad \cfrac{1}{2n+1} \longrightarrow 0$
$はさみうちの原理により I_{2n+1} \longrightarrow 0$
$よって \quad (-1)^{n-1}I_{2n+1} \longrightarrow 0 \quad だから \quad S_n \longrightarrow I_1$
\[\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=I_1 =\int_0^1\cfrac{x}{1+x^2}dx=\cfrac{1}{2}\big[\log (1+x^2)\big]_0^1=\cfrac{1}{2}\log 2\]
$なお$
\[\lim _{n \rightarrow \infty} S_n の値を全く別な方法で求めることができますので\] \[\qquad \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{(-1)^{k-1}}{k} \quad の和を参考にしてください。\]
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