九州大学(理系) 2025年 問題5
$1\ 個のさいころを \ 3\ 回続けて投げ、出る目を順に \ a,\ b,\ c\ とする。整式 \ \ f(x)=(x^2-ax+b)(x-c)\ \ について$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ f(x)=0 \ \ をみたす実数 \ x\ の個数が \ 1\ 個である確率を求めよ。$
$(2)\ \ f(x)=0 \ \ をみたす自然数 \ x\ の個数が \ 3\ 個である確率を求めよ。$
(1)
$f(x)=0 \ \ の \ 1\ つの解は \ x=c\ だから解の個数が \ 1\ 個であるのは$
$(ア)\ \ x=c \ を \ 3\ 重解にもつ場合$
$\quad x^2-ax+b=0 \ \ が \ x=c \ を重解をもてばよい。$
$\quad 解と係数の関係より \quad c+c=a,\quad c^2=b$
$\quad よって \quad a=2c, \quad b=c^2$
$\quad このとき \quad D=a^2-4b=(2c)^2-4c^2=0 \quad だから確かに重解をもつ$
(i)$\ \ c=1\ \ のとき \quad a=2,\quad b=1$
(ii)$\ \ c=2\ \ のとき \quad a=4,\quad b=4$
(iii)$ c=3,\ 4,\ 5,\ 6\ \ のとき \quad b \geqq 9 \ \ となり 不適$
$\quad よって \quad (a,\ b,\ c)=(2,\ 1,\ 1),\ \ (4,\ 4,\ 2)$
$(イ) \ \ x^2-ax+b=0 \ \ が虚数解をもつ場合$
$\quad D=a^2-4b < 0 \ \ より \quad b > \dfrac{a^2}{4}, \quad c =1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$
(i)$\ \ a=1\ \ のとき \quad b > \dfrac{1}{4} \qquad b=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \qquad 6 \times 6=36 \ \ 通り$
(ii)$\ \ a=2\ \ のとき \quad b > 1 \qquad b=2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \qquad 5 \times 6=30 \ \ 通り$
(iii)$\ \ a=3\ \ のとき \quad b > \dfrac{9}{4} \qquad b=3,\ 4,\ 5,\ 6 \qquad 4 \times 6=24 \ \ 通り$
(iv)$\ \ a=4\ \ のとき \quad b > 4 \qquad b=5,\ 6 \qquad 2 \times 6=12 \ \ 通り$
(v)$\ \ a=5,6 \ \ のとき \quad b > \dfrac{25}{4} > 6 \quad 満たす \ b\ はない$
$\quad 合計 \ \ 36+30+24+12=102 \ \ 通り$
$(ア),(イ)合わせて \quad 2+102=104 \ \ 通りだから$
$求める確率は \quad p=\cfrac{104}{6^3}=\cfrac{13}{27}$
(2)
$x^2-ax+b=0 \ \ が異なる \ 2\ つの自然数解 \ \alpha,\ \ \beta \ \ (\alpha < \beta )\ \ をもつとき$
$x^2-ax+b=(x-\alpha)(x-\beta) \ \ と因数分解される。$
$このとき、b=\alpha \beta,\quad a=\alpha + \beta$
$ただし、a,\ b \ は \ \ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\ \ であることに注意して$
(i)$\ \ b=1 \times 2=2 \quad のとき \quad a=3$
(ii)$\ \ b=1 \times 3=3 \quad のとき \quad a=4$
(iii)$\ \ b=1 \times 4=4 \quad のとき \quad a=5$
(iv)$\ \ b=1 \times 5=5 \quad のとき \quad a=6$
(v)$\ \ b=2 \times 3=6 \quad のとき \quad a=5$
$c\ はこれら \ 2\ つの解 \ \alpha ,\ \ \beta \ \ を除いた \ 4\ 個づつあるから \ (a,\ b,\ c)\ の組は全部で \quad 5 \times 4=20 \ \ 通り$
$求める確率は \quad p=\cfrac{20}{6^3}=\cfrac{5}{54}$
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