九州大学(理系) 2025年 問題3
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ n\ を整数とするとき、n^2\ を \ 8\ で割った余りは \ 0,\ 1,\ 4\ のいずれかであることを示せ。$
$(2)\ \ 2^m=n^2+3 \ \ をみたす \ 0\ 以上の整数の組(m,\ n)\ をすべて求めよ。 $
(1)
$n\ を \ 8\ で割った余りで分類する。k\ を整数として$
(i)$\ \ n=8k \ \ のとき$
$\qquad n^2=64k^2=8(8k^2) \quad だから \ \ 余りは \ \ 0$
(ii)$\ \ n=8k \pm 1 \ \ のとき$
$\qquad n^2=64k^2 \pm 16k+1=8(8k^2 \pm 2k)+1 \quad だから \ \ 余りは \ \ 1$
(iii)$\ \ n=8k \pm 2 \ \ のとき$
$\qquad n^2=64k^2 \pm 32k+4=8(8k^2 \pm 4k)+4 \quad だから \ \ 余りは \ \ 4$
(iv)$\ \ n=8k \pm 3 \ \ のとき$
$\qquad n^2=64k^2 \pm 48k+9=8(8k^2 \pm 6k +1)+1 \quad だから \ \ 余りは \ \ 1$
(v)$\ \ n=8k \pm 4 \ \ のとき$
$\qquad n^2=64k^2 \pm 64k+16=8(8k^2 \pm 8k+2) \quad だから \ \ 余りは \ \ 0$
(i) $ \sim $ (v)$\ \ より n^2\ を \ 8\ で割った余りは \ 0,\ 1,\ 4\ のいずれかである。$
(2)
$2^m=n^2+3 \ \ において$
$n^2+3 \ \ は \ 4\ 以上だから \ m\ は \ 2\ 以上の整数$
(i)$\ \ m=2 \quad のとき$
$\qquad 2^2=n^2+3 \quad より \quad n^2=1 \qquad \therefore\ \ n= 1$
(ii)$\ \ m=3,\ 4,\ 5,\ \cdots \quad のとき$
$\qquad 2^m \ は \ 8\ の倍数だから \ \ 2^m=8k\ \ (k\ は整数)\ \ とおくと$
$\qquad 8k=n^2+3$
$\qquad n^2=8k-3=8(k-1)+5 $
$\qquad これは \ \ n^2 \ を \ 8\ で割ると \ 5\ 余ることを示しているが、(1)に矛盾する。$
$\qquad よって \quad m=3,\ 4,\ 5,\ \cdots \ のとき満たす整数 \ n\ はない。$
(i),(ii)$\ \ より \quad (m,\ n)=(2,\ 1)$
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