九州大学(理系) 2025年 問題2
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ y=\tan x \ \ とするとき、\dfrac{dy}{dx} を \ y\ の整式で表せ。$
$(2)\ \ 次の定積分を求めよ。 $
\[\hspace{5em} \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}} \dfrac{\tan ^4 x -\tan ^2x -2}{\tan ^2x -4}dx\]
(1)
$1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos ^2x}\quad だから$
$y=\tan x =\dfrac{\sin x}{\cos x} \quad を微分して$
\begin{eqnarray*} \dfrac{dy}{dx} &=&\dfrac{\cos ^2 x+\sin ^2x}{\cos ^2 x}\\ \\ &=&\dfrac{1}{\cos ^2 x}\\ \\ &=&1+\tan ^2x\\ \\ &=&1+y^2 \end{eqnarray*}
(2)
\[I=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}} \dfrac{\tan ^4 x -\tan ^2x -2}{\tan ^2x -4}dx= \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}} \dfrac{(\tan ^2 x +1)(\tan ^2x -2)}{\tan ^2x -4}dx\] \[
y=\tan x \quad とおくと (1)より \quad \dfrac{dy}{dx}=1+y^2 \quad だから \quad \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{1+y^2} \qquad \begin{array}{c|c} x & 0 \rightarrow \dfrac{\pi}{4} \\ \hline y & 0 \ \ \rightarrow 1 \\ \end{array} \]
\begin{eqnarray*} I &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}} \dfrac{(\tan ^2 x +1)(\tan ^2x -2)}{\tan ^2x -4}\dfrac{dx}{dy}dy\\ \\ &=&\int_0^1\dfrac{(y^2+1)(y^2-2)}{y^2-4} \cdot \dfrac{1}{1+y^2} dy\\ \\ &=&\int_0^1\dfrac{y^2-2}{y^2-4} dy\\ \\ &=&\int_0^1\big(1+\dfrac{2}{y^2-4}\big) dy\\ \\ &=&\int_0^1\big(1+\dfrac{2}{(y+2)(y-2)}\big) dy\\ \\ &=&\int_0^1\big(1-\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{1}{y+2}-\dfrac{1}{y-2}\big) \big)dy\\ \\ &=&\big[y-\dfrac{1}{2}\big(\log |y+2|-\log |y-2|\big)\big]_0^1\\ \\ &=&1-\dfrac{1}{2}(\log 3 - \log 2 +\log 2)\\ \\ &=&1-\dfrac{1}{2}\log 3 \end{eqnarray*}
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