九州大学(理系) 2018年 問題5
$\alpha \ を複素数とする。等式 \ \ \alpha(|z|^2+2)+i(2|\alpha|^2+1)\overline{z}=0 \ \ を満たす複素数 \ z\ をすべて求めよ。$
$ただし、i\ は虚数単位である。$
$(解説)$
$与えられた等式を「複素数の式=実数」と変形するとこの先が見えてきます。$
$\alpha(|z|^2+2)+i(2|\alpha|^2+1)\overline{z}=0 \quad より \quad \alpha(|z|^2+2)=-i(2|\alpha|^2+1)\overline{z}$
$(1)\ \ \overline{z} =0 \quad すなわち \quad z=0 \quad のとき$
$\qquad 2\alpha =0 \quad より \quad \alpha =0$
$\quad したがって \quad \alpha =0 \quad のとき \quad z=0$
$(2)\quad \overline{z} \ne 0 \quad すなわち \quad z \ne 0 \quad のとき$
$\qquad \cfrac{\alpha}{-i\overline{z}}=\cfrac{2|\alpha|^2+1}{|z|^2+2}$
$\quad 右辺は実数だからこれを \ k\ とおくと$
$\qquad \alpha =-k\ i\ \overline{z} \hspace{15em}①$
$\qquad 2|\alpha|^2+1=k(|z|^2+2) \hspace{10em}②$
$①を②に代入して$
$\quad 2|-k\ i\ \overline{z}|^2+1=k(|z|^2+2) \hspace{3em} |-k\ i\ \overline{z}|^2=k^2|z|^2 \quad だから$
$\quad 2k^2 |z|^2+1=k(|z|^2+2) $
$\quad (2k^2-k)|z|^2-(2k-1)=0$
$\quad (2k-1)(k|z|^2-1)=0$
(i)$\ \ k=\cfrac{1}{2} \quad のとき$
$\quad ①に代入して \quad \alpha =-\cfrac{1}{2}\ i\ \overline{z} \hspace{3em} \overline{z}=-\cfrac{2\alpha}{i}=2\ i\ \alpha$
$\quad 両辺の共役複素数をとって \qquad z=-2\ i\ \overline{\alpha}$
$\quad なお、\alpha =0 \quad とおくと \quad z=0 \ \ が得られるので、これは(1)を含む。$
(ii)$\ \ k|z|^2-1=0 \quad すなわち \quad k=\cfrac{1}{|z|^2} \quad のとき$
$\quad ①に代入して \qquad \alpha =-\cfrac{1}{|z|^2}\ i\ \overline{z}=-\cfrac{i\ \overline{z}}{z\ \overline{z}}=-\cfrac{i}{z}$
$\quad \therefore \ \ z=-\cfrac{i}{\alpha}$
$以上より \qquad z=-2\ i\ \overline{\alpha} ,\quad -\cfrac{i}{\alpha}$
$(別解)$
$(2)で \quad \overline{z} \ne 0 \quad すなわち \quad z \ne 0 \quad のとき$
$\qquad \cfrac{\alpha}{-i\ \overline{z}}=\cfrac{2|\alpha|^2+1}{|z|^2+2} \qquad の右辺は実数だから \qquad 左辺=\cfrac{i\ \alpha}{\overline{z}} \quad は実数$
$\quad よって \qquad \cfrac{i\alpha}{\overline{z}}=\overline{\big(\cfrac{i\alpha}{\overline{z}}\big)}=\cfrac{-i\ \overline{\alpha}}{z}$
$\qquad \alpha \ z =- \overline{\alpha} \ \overline {z}=-\overline{\alpha \ z} \qquad \alpha \ z \quad は純虚数であるから \quad \alpha \ z=p\ i\ \ (p\ は実数)とおける。$
$\qquad \cfrac{i\ \alpha}{\overline{z}}=\cfrac{2|\alpha|^2+1}{|z|^2+2} \quad は$
$\qquad \cfrac{i\ \alpha z}{z \ \overline{z}}=\cfrac{2|\alpha|^2+1}{|z|^2+2}$
$\qquad \cfrac{-p}{|z|^2}=\cfrac{2|\alpha|^2+1}{|z|^2+2} $
$\qquad -p(|z|^2+2)=|z|^2(2|\alpha|^2+1)=2|\alpha \ z|^2+|z|^2 =2|p\ i|^2+|z|^2=2p^2+|z|^2$
$\qquad (p+1)|z|^2+2p(p+1)=0$
$\qquad (p+1)(|z|^2+2p)=0$
(i)$\ \ p=-1 \quad のとき$
$\qquad \alpha\ z=-i \quad より \quad z=-\cfrac{i}{\alpha}$
(ii)$\ \ p=-\cfrac{|z|^2}{2} \quad のとき$
$\qquad \alpha \ z=-\cfrac{|z|^2}{2} i$
$\qquad 2\alpha \ z =-z\ \overline{z}\ i$
$\qquad \overline{z}=-\cfrac{2\alpha}{i}=2i\ \alpha$
$\quad よって \quad z=-2i\ \ \overline{\alpha}$
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