京都大学(理系) 2026年 問題6
$n\ は \ 3\ 以上の整数とする。1\ から \ n\ までの番号が書かれた \ n\ 枚の札が袋に入っている。ただし、同じ番号が$
$書かれた札はないとする。この袋から \ 3\ 枚の札を同時に取り出し、一番大きな番号を \ X\ とする。Xの期待値$
$を求めよ。$
$k を3\ から \ n\ までの整数とする。$
$X=k\ となるのは、取り出した \ 3\ 枚の札のうち \ 1\ 枚が \ k\ の番号が書かれた札で、$
$2\ 枚が、1\ から \ (k-1)\ までの番号が書かれた札の場合であるからその確率は$
$P(X=k)=\dfrac{{}_{k-1}C_2}{{}_nC_3}=\dfrac{(k-1)(k-2)}{2} \times \dfrac{3 \times 2}{n(n-1)(n-2)}=\dfrac{3(k-1)(k-2)}{n(n-1)(n-2)}$
$Xの期待値 \ E(X)\ は$
\begin{eqnarray*} E(X) &=&\sum_{k=3}^n k \times P(X=k)\\ \\ &=&\sum_{k=3}^n k \times \dfrac{3(k-1)(k-2)}{n(n-1)(n-2)}\\ \\ &=&\dfrac{3}{n(n-1)(n-2)} \sum_{k=3}^n k(k-1)(k-2)\\ \\ &=&\dfrac{3}{n(n-1)(n-2)} \sum_{k=1}^n k(k-1)(k-2) \hspace{5em} (k=1,\ 2\ のとき \ \ 和=0)\\ \\ &=&\dfrac{3}{n(n-1)(n-2)} \sum_{k=1}^n (k^3-3k^2+2k)\\ \\ &=&\dfrac{3}{n(n-1)(n-2)}\Big\{\big(\dfrac{n(n+1)}{2}\big)^2-3 \times \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} +2 \times \dfrac{n(n+1)}{2}\Big\}\\ \\ &=&\dfrac{3}{n(n-1)(n-2)} \Big\{\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)\Big\}\\ \\ &=&\dfrac{3}{4n(n-1)(n-2)} \times n(n+1) \big\{n(n+1)-2(2n+1)+4\big\}\\ \\ &=&\dfrac{3(n+1)}{4(n-1)(n-2)} \times (n^2-3n+2)\\ \\ &=&\dfrac{3(n+1)}{4(n-1)(n-2)} \times (n-1)(n-2)\\ \\ &=&\dfrac{3}{4}(n+1) \end{eqnarray*}
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