京都大学(理系) 2026年　問題5


$a\ は \ 0 < a < \pi\ を満たす実数とする。2\ つの関数 \ y=\sin(x+a)\ と \ y=\sin(x-a)\ のグラフの、-\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$
$の部分が囲む領域を \ D_a\ とする。x\ 軸のまわりに \ D_a\ を \ 1\ 回転してできる立体の体積を求めよ。$


$\dfrac{\pi}{2}\ と \ a\ の大小で \ D_a \ の様子が大きく異なる。$

　

$(1)\ \ 0 < a \leqq \dfrac{\pi}{2} \ \ のとき$

$囲む領域 \ D_a\ とこれを \ x\ 軸のまわりに\ 1\ 回転してできる立体の図形は$

$y=\sin(x-a)\ を \ y\ 軸について対称移動させると \ \ x \longrightarrow -x $

$とおくと \ \ y=-\sin(x+a)\ \ だから \ y\ 軸に関して対称である。$

　

$回転体の体積Vは$
\begin{eqnarray*} \dfrac{V}{2} &=&\pi\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \sin^2(x+a)dx - \pi\int_a^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \sin^2(x-a)dx \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \big(1-\cos2((x+a)\big)dx - \dfrac{\pi}{2}\int_a^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\big(1- \cos2(x-a)\big)dx \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big[x-\dfrac{1}{2}\sin2((x+a)\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}-\dfrac{\pi}{2}\big[x-\dfrac{1}{2}\sin2((x-a)\big]_a^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big\{\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\sin2(\dfrac{\pi}{2}+a)+\dfrac{1}{2}\sin 2a\big\}- \dfrac{\pi}{2}\big\{\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\sin2(\dfrac{\pi}{2}-a )- a\big\} \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big\{\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\sin(\pi +2a)+\dfrac{1}{2}\sin 2a -\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{1}{2}\sin(\pi-2a )+a\big\} \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big\{\dfrac{1}{2}\sin 2a +\dfrac{1}{2}\sin 2a +\dfrac{1}{2}\sin 2a +a\big\} \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big(a+\dfrac{3}{2}\sin 2a \big)\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad V=\dfrac{\pi}{2}\big(2a+3\sin 2a \big)$

　


$(2) \leqq \dfrac{\pi}{2} < a <\pi \ \ のとき$

$y=\sin(x+a)\ と \ x\ 軸の交点は$

$ \sin(x+a)=0 \ \ より$

$ x+a=\pi \qquad \therefore \ \ x=\pi -a$

　


$D_a \ は \ y\ 軸に関して対称であるから$

$回転体の体積 \ V\ は$
\begin{eqnarray*} \dfrac{V}{2} &=&\pi\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \sin^2(x-a)dx - \pi\int_{\pi-a}^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} (-\sin(x+a))^2dx \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \big(1-\cos2((x-a)\big)dx - \dfrac{\pi}{2}\int_{\pi-a}^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\big(1- \cos2(x+a)\big)dx \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big[x-\dfrac{1}{2}\sin2((x-a)\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}-\dfrac{\pi}{2}\big[x-\dfrac{1}{2}\sin2((x+a)\big]_{\pi-a}^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big\{\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\sin2(\dfrac{\pi}{2}-a)+\dfrac{1}{2}\sin (-2a)\big\}- \dfrac{\pi}{2}\big\{\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\sin2(\dfrac{\pi}{2}+a )-(\pi-a) +\dfrac{1}{2}\sin 2\pi \big\} \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big\{\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\sin(\pi -2a)-\dfrac{1}{2}\sin 2a -\dfrac{\pi}{2} +\dfrac{1}{2}\sin(\pi+2a ) +\pi-a\big\} \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big\{\pi -a -\dfrac{1}{2}\sin 2a -\dfrac{1}{2}\sin 2a -\dfrac{1}{2}\sin 2a \big\} \\ \\ &=&\dfrac{\pi}{2}\big(\pi -a -\dfrac{3}{2}\sin 2a \big)\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad V=\dfrac{\pi}{2}(2\pi -2a-3\sin 2a \big)$


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