京都大学(理系) 2024年　問題6


$自然数 \ k\ に対して、a_k=2^{\sqrt{k}}\ \ とする。n\ を自然数とし、a_k \ の整数部分が \ n\ 桁であるような \ k\ の個数を \ N_n$
$とする。また、a_k \ の整数部分が \ n\ 桁であり、その最高位の数字が \ 1\ であるような \ k\ の個数を \ L_n \ とする。$
$次を求めよ。$
\[\hspace{5em}\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{L_n}{N_n}\] $ただし、例えば実数 \ 2345.678 \ の整数部分 \ 2345 \ は \ 4\ 桁で、最高位の数字は \ 2\ である。$


$ここでは、対数の底は10とし省略する。$

$a_k=2^{\sqrt{k}} \ の整数部分が \ n\ 桁だから \quad 10^{n-1} \leqq 2^{\sqrt{k}} < 10^n$

$両辺の対数をとって \quad n-1 \leqq \sqrt{k}\log 2 < n$

$\cfrac{n-1}{\log 2} \leqq \sqrt{k} < \cfrac{n}{\log 2}$

$ここで \quad p=\cfrac{n-1}{\log 2} ,\quad q= \cfrac{n}{\log 2}\quad とおくと$

$p^2 \leqq k < q^2$

$これを満たす自然数 \ k\ の個数は$

$N_n=[q^2]- ([p^2] +1)+1=[q^2]-[p^2]$

$ここに、[a]\ は \ a\ を超えない最大の整数で、ガウス記号である。$

$また$

$a_k \ の整数部分が \ n\ 桁であり、その最高位の数字が \ 1\ ならば$

$10^{n-1} \leqq 2^{\sqrt{k}} < 2 \times 10^{n-1}$

$両辺の対数をとって \quad n-1 \leqq \sqrt{k}\log 2 < \log 2+n-1$

$\cfrac{n-1}{\log 2} \leqq \sqrt{k} < 1+\cfrac{n-1}{\log 2}$

$p^2 \leqq < k < (1+p)^2$

$これを満たす自然数 \ k\ の個数は$

$L_n=[(1+p)^2]-([p^2]+1)+1=[(1+p)^2]-[p^2]$

$一般に \quad a-1 <[a] \leqq a \quad だから$

$(1+p)^2-1 < [(1+p)^2] \leqq (1+p)^2,\qquad p^2-1< [p^2] \leqq p^2 $

$よって \quad (1+p)^2-1-p^2 < [(1+p)^2]-[p^2] < (1+p)^2-(p^2-1)$

$(1+p)^2-1-p^2 < L_n < (1+p)^2-p^2+1$

$\therefore \ \ 2p < L_n < 2p+2$

$また$

$N_n=[q^2]-[p^2] \quad より$

$q^2-1 < [q^2] \leqq q^2 ,\qquad p^2-1 < [p^2] \leqq p^2 \quad だから$

$q^2-1-p^2 < [q^2]-[p^2] < q^2-(p^2-1)$

$\therefore \ \ q^2-1-p^2 < N_n < q^2-p^2+1$

$ここで、q^2-p^2-1=\big(\dfrac{n}{\log 2}\big)^2-\big(\dfrac{n-1}{\log 2}\big)^2-1=\cfrac{2n-1-(\log 2)^2}{(\log 2)^2}>0 \quad だから$

$\cfrac{2p}{q^2-p^2+1} < \cfrac{L_n}{N_n} < \cfrac{2p+2}{q^2-p^2-1}$

$\cfrac{\dfrac{2n}{\log 2}}{\cfrac{2n-1}{(\log 2)^2}+1} < \cfrac{L_n}{N_n} < \cfrac{\dfrac{2n}{\log 2}+2}{\dfrac{2n-1}{(\log 2)^2}-1}$

$\cfrac{2n\log 2}{2n-1 +(\log 2)^2 } < \cfrac{L_n}{N_n} < \cfrac{2n\log 2 +2(\log 2)^2}{2n-1 -(\log 2)^2}$

$\cfrac{\log 2}{1+\dfrac{-1 +(\log 2)^2}{2n}} < \cfrac{L_n}{N_n} < \cfrac{\log 2 +\dfrac{(\log 2)^2}{n}}{1-\dfrac{1 +(\log 2)^2}{2n}}$

$n \longrightarrow \infty \ \ のとき \ \ 左辺 \longrightarrow \log 2,\qquad 右辺 \longrightarrow \log 2 \quad だから$

\[はさみうちの原理により \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{L_n}{N_n} =\log 2\]

ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る