京都大学(理系) 2024年　問題4


$与えられた自然数 \ a_0 \ に対して、自然数からなる数列 \ a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots \ を次のように定める。$
\[ \hspace{5em} a_{n+1}= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{a_n}{2} \hspace{5em}(a_n が偶数のとき)\\ \\ \dfrac{3a_n +1}{2} \hspace{3em}(a_nが奇数のとき)\\ \end{array} \right. \] $次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3 \ がすべて奇数であるような最小の自然数 \ a_0\ を求めよ。$
$(2)\ \ a_0,\ a_1,\ \cdots ,\ a_{10} \ がすべて奇数であるような最小の自然数 \ a_0 \ を求めよ。$


(1)


$a_0 \ は奇数だから \ \ a_0=2k-1 \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots )\ \ とおける$

$a_1=\dfrac{3a_0 +1}{2}=\dfrac{3(2k-1) +1}{2}=3k-1$

$a_1 \ は奇数だから \ \ k\ は偶数で、k=2l\ \ (l=1,\ 2,\ \cdots )\ \ とおけるから \ \ a_1=6l-1$

$a_2=\dfrac{3a_1 +1}{2}=\dfrac{3(6l-1) +1}{2}=9l-1$

$a_2 \ は奇数だから \ \ l\ は偶数で、l=2m \ \ (m=1,\ 2,\ \cdots ) \ \ とおけるから \ \ a_2=18m-1$

$a_3=\dfrac{3a_2 +1}{2}=\dfrac{3(18m-1) +1}{2}=27m-1$

$a_3 \ は奇数だから \ \ m\ は偶数で、m=2p\ \ (p=1,\ 2,\ \cdots )\ \ とおけるから \ \ a_3=54p-1$

$よって \quad m=2p,\quad l=2^2p,\quad k=2^3p$

$a_0=2k-1=2^4p-1 \quad これが最小となるのは \ \ p=1\ のときで、a_0=2^4-1=15$

$なお、このとき \quad m=2,\quad l=4 ,\quad k=8 \quad だから$

$a_1=23,\quad a_2=35,\quad a_3=53 $


(2)


$a_n \ が奇数ならば \ \ a_n=2k_n-1 \ \ (k_n=1,\ 2,\ \cdots )\ \ とおける$

$a_{n+1}=\dfrac{3a_n +1}{2}=\dfrac{3(2k_n-1) +1}{2}=3k_n-1$

$a_{n+1} が奇数ならば \ k_n \ は偶数で、k_n=2k_{n+1}\ \ (k_{n+1}=1,\ 2,\cdots ) \ \ とおける$

$k_{10}=k \ \ とおくと$

$k_9=2k_{10}=2k$

$k_8=2k_9=2^2k$

$k_7=2k_8=2^3k$

$\hspace{3em} \vdots $

$k_0=~2k_1=2^{10}k$

$よって \quad a_0=2k_0-1=2^{11}k-1$

$これが最小の自然数となるのは \ k=1\ のときで \quad a_0=2^{11}-1=2047$


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