京都大学(理系) 2018年　問題2


$n^3-7n+9\ が素数となるような整数 \ n\ をすべて求めよ。$


$(解説)$

$n^3-7n+9\ \ を \ \ (n^3-n)+(-6n+9)\ \ と分解できることに気がつけば終わりです。$


$n^3-7n+9=(n^3-n)-3(2n-3) \quad において$

(i)$\ \ n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1) \quad は$

$\qquad 連続する整数 \ \ n-1,\ n,\ n+1\ \ の積だから、これらのうちいずれかは必ず \ 3\ の倍数である。$

$\qquad したがって、n^3-n\ \ は \ 3\ の倍数である。$

(ii)$\ \ 3(2n-3) \quad は明らかに \ 3\ の倍数$

(i),(ii)$\ より \quad n^3-7n+9 \quad は \ 3\ の倍数$

$これが素数(正の整数と考えてよい)となるのは \ 3\ の場合だけである。$

$n^3-7n+9=3 \quad を解くと$

$n^3-7n+6=0$

$(n-1)(n-2)(n+3)=0$

$\therefore n=-3,\ 1,\ 2$



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