神戸大学(理系) 2026年 問題5
$r\ を正の実数とする。複素数 \ \alpha \ が \ \ (1+r^2)\alpha ^2 -2\alpha +1=0 \ \ をみたすとする。複素数平面上の3\ 点 \ O(0),$
$A(\alpha),\ \ B(1) \ について以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ 次の条件をみたす円 \ C\ が存在することを証明し、C\ の中心を表す複素数と \ C\ の半径を求めよ。$
$\qquad 条件「すべての正の実数 \ r\ に対して、A\ は \ C\ 上にある。」$
$(2)\ \ t > 0 \ とし、r=te^{-t} \ \ とする。t > 0\ における \ \triangle OAB\ の面積の最大値とそれを与える \ t\ を求めよ。$
(1)
$(1+r^2)\alpha ^2 -2\alpha +1=0 \ \ より$
$\alpha ^2 - \dfrac{2}{1+r^2}\alpha +\dfrac{1}{1+r^2}=0$
$\big(\alpha - \dfrac{1}{1+r^2}\big)^2=\dfrac{1}{(1+r^2)^2}-\dfrac{1}{1+r^2}$
$\big(\alpha - \dfrac{1}{1+r^2}\big)^2=-\dfrac{r^2}{(1+r^2)^2}$
$右辺は負だから$
$\alpha - \dfrac{1}{1+r^2}=\pm \dfrac{r}{1+r^2}i$
$\alpha = \dfrac{1}{1+r^2} \pm \dfrac{r}{1+r^2}i$
$x=\dfrac{1}{1+r^2} ,\quad y=\pm \dfrac{r}{1+r^2}$
$x^2+y^2=\big(\dfrac{1}{1+r^2}\big)^2+\big(\dfrac{r}{1+r^2}\big)^2=\dfrac{1+r^2}{(1+r^2)^2}=\dfrac{1}{1+r^2}=x$
$\therefore \ \ \big(x-\dfrac{1}{2}\big)^2+y^2=\dfrac{1}{4}$
$よって \ \ すべての正の実数 \ r\ に対して、点 \ A(\alpha) \ は中心(\dfrac{1}{2}),$
$半径 \ \ \dfrac{1}{2}\ \ の円 \ C\ 上にある。$
(2)
$\triangle OAB \ の底辺を \ OB\ とすると、高さは \ A(\alpha) \ の虚部だから$
$\triangle OAB=\dfrac{1}{2}\times OB \times |y|=\dfrac{1}{2}|y|=\dfrac{r}{2(1+r^2)} $
$r=te^{-t} \ \ だから$
$\triangle OAB=\dfrac{te^{-t}}{2(1+t^2e^{-2t})}=\dfrac{te^t}{2(e^{2t}+t^2)}$
$f(t)=\dfrac{te^t}{e^{2t}+t^2} \ \ (t > 0)\ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} f'(t) &=&\dfrac{(e^t+te^t)(e^{2t}+t^2)-te^t(2e^{2t}+2t)}{(e^{2t}+t^2)^2}\\ \\ &=&\dfrac{(1-t)e^{3t}-t^2(1-t)e^t}{(e^{2t}+t^2)^2}\\ \\ &=&\dfrac{(1-t)e^t(e^{2t}-t^2)}{(e^{2t}+t^2)^2}\\ \\ &=&\dfrac{(1-t)e^t(e^t-t)(e^t+t)}{(e^{2t}+t^2)^2}\\ \end{eqnarray*} $e^t -t > 0\ \ に注意して \quad f'(t)=0 \ \ より \quad t=1$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - \\ \hline f(t)& & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \end{array} \]
$f(t) は、t=1 \ \ で極大かつ最大となり、最大値 \quad f(1)=\dfrac{e}{e^2+1}$
$よって \ \ \triangle OAB\ の面積は \ t=1\ のとき \ \ 最大値 \ \ \dfrac{e}{2(e^2+1)}\ \ をとる$
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