神戸大学(理系) 2026年　問題4


\[0 \leqq a \leqq \pi \ \ とする。関数 \ f(x)\ は \ x\ の連続関数とし、g(x)=\int_a^x f(t)\sin(x-t)dt \ \ とおく。以下の問に答えよ。\] $(1)\ \ g'(a) \ \ を求めよ。$
$(2)\ \ g''(x)\ \ を \ f(x)\ と \ g(x)\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 条件「g(x)=~\sin x-\sin ^2x 」は、条件「f(x)=~\sin ^2x-2\cos ^2x \ \ かつ \ \ a=\dfrac{\pi}{2}」\ \ であるための必要十分$
$\quad 条件であることを証明せよ。$


(1)


\begin{eqnarray*} g(x) &=&\int_a^x f(t)\sin(x-t)dt\\ \\ &=&\int_a^x f(t)(\sin x \cos t - \cos x \sin t)dt\\ \\ &=&\sin x \int_a^x f(t)\cos t dt - \cos x \int_a^x f(t)\sin tdt\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} g'(x) &=&\cos x \int_a^x f(t)\cos t dt + \sin x \cdot f(x)\cos x + \sin x \int_a^x f(t)\sin tdt- \cos x \cdot f(x) \sin x \\ \\ &=&\cos x \int_a^x f(t)\cos t dt + \sin x \int_a^x f(t)\sin tdt \\ \end{eqnarray*} \[\therefore \ \ g'(a)=\cos a \int_a^a f(t)\cos t dt + \sin a \int_a^a f(t)\sin tdt =0\]

(2)


\begin{eqnarray*} g''(x) &=&-\sin x \int_a^x f(t)\cos t dt + \cos x f(x)\cos x + \cos x \int_a^x f(t)\sin t dt + \sin x f(x)\sin x \\ \\ &=&(\cos ^2x + \sin ^2x) f(x) - \big\{\sin x \int_a^x f(t)\cos t dt - \cos x \int_a^x f(t)\sin t dt \big\} \\ \\ &=&f(x)-g(x) \end{eqnarray*}

(3)


$条件「g(x)=~\sin x-\sin ^2x 」\Longleftrightarrow 条件「f(x)=~\sin ^2x-2\cos ^2x \ \ かつ \ \ a=\dfrac{\pi}{2}」$

$\Longrightarrow の証明$

$g(x)=\sin x-\sin ^2x \ \ より$

$g'(x)=\cos x -2\sin x \cos x=\cos x - \sin 2x$

$g''(x)=-\sin x - 2\cos 2x$

$(2) より \ \ g''(x)=f(x)-g(x) \ \ だから$

\begin{eqnarray*} f(x) &=&g(x)+g''(x)\\ \\ &=&\big(\sin x-\sin ^2x\big)+\big(-\sin x - 2\cos 2x\big)\\ \\ &=&-\sin ^2x - 2\cos 2x \\ \\ &=&-\sin ^2x - 2(1-2\sin^2x) \\ \\ &=&\sin ^2x + 2\sin^2x -2 \\ \\ &=&\sin ^2x + 2(1-\cos ^2x) -2 \\ \\ &=&\sin ^2x -2\cos ^2x \\ \end{eqnarray*}
$ただし \quad g(a)=g'(a)=0$

(i)$\ \ g(a)=0 \ \ より \quad \sin a - \sin ^2a=0 \qquad \sin a(1-\sin a)=0$

$\quad \sin a=0 \ \ より \quad a=0,\ \ \pi,\quad \sin a=1 \ \ より \ \ a=\dfrac{\pi}{2}$

(ii)$\ \ g'(a)=0 \ \ より \quad \cos a - 2\sin a\cos a=0 \qquad \cos a(1-2\sin a)=0$

$\quad \cos a=0 \ \ より \ \ a=\dfrac{\pi}{2},\quad \sin a=\dfrac{1}{2} \ \ より \ \ a=\dfrac{\pi}{6}$

(i),(ii)$\ \ を満たす \ a\ は \quad a=\dfrac{\pi}{2}$

$\Longleftarrow の証明$

\begin{eqnarray*} g(x) &=&\sin x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^x f(t)\cos t dt - \cos x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^ x f(t)\sin tdt\\ \\ &=&\sin x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^x(\sin ^2t -2\cos ^2t)\cos t dt - \cos x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^ x (\sin ^2t -2\cos ^2t )\sin tdt\\ \\ &=&\sin x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^x(\sin ^2t -2(1-\sin^2t))\cos t dt - \cos x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^ x ((1-\cos ^2t) -2\cos ^2t )\sin tdt\\ \\ &=&\sin x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^x(3\sin ^2t -2)\cos t dt - \cos x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^ x (1-3\cos ^2t)\sin tdt\\ \\ &=&\sin x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^x(3\sin ^2t \cos t -2\cos t) dt - \cos x \int_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^ x (\sin t-3\cos ^2t\sin t)dt\\ \\ &=&\sin x \big[\sin^3t-2\sin t\big]_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^x - \cos x \big[-\cos t+\cos ^3t\big]_{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}^ x \\ \\ &=&\sin x (\sin^3x-2\sin x -1+2)- \cos x (-\cos x+\cos ^3x) \\ \\ &=&\sin x +(\sin^4x-\cos^4 x)-2\sin^2x +\cos^2x \\ \\ &=&\sin x +(\sin^2x-\cos^2 x)(\sin^2x+\cos^2x)-2\sin^2x +\cos^2x \\ \\ &=&\sin x +(\sin^2x-\cos^2 x)-2\sin^2x +\cos^2x \\ \\ &=&\sin x -\sin^2x \end{eqnarray*}

ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る