神戸大学(理系) 2026年 問題3
$整数 \ m\ が性質 \ P\ をみたすとは、 m=|z^2|\ \ が成り立つような実部と虚部が共に整数である複素数 \ z\ が存在$
$することとする。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ 性質 \ P\ をみたす整数 \ m\ で \ \ 30 < m < 40\ \ をみたすものをすべて挙げよ。$
$(2)\ \ 性質 \ P\ をみたす整数 \ 2\ つの積は、性質 \ P\ をみたすことを証明せよ。$
$(3)\ \ 4\ で割った余りが \ 3\ であるような整数は、性質 \ P\ をみたさないことを証明せよ。$
(1)
$z=a+bi\ \ (a,\ b\ は整数)\ \ とおくと \quad |z^2|=|z|^2=a^2+b^2 \ \ だから$
$30 < m < 40\ \ ならば \quad 30 < a^2+b^2 <40 \ \ をみたす$
$a,\ b\ \ について対称だから \ \ a \leqq b \ \ とすると$
$2a^2 \leqq a^2+b^2 < 40 \ \ だから \quad a^2 < 20$
(i)$\ \ a^2=0 \ \ のとき \quad 30 < b^2 < 40 \ \ より \ \ b^2=36 \quad よって \quad m=0^2+6^2=36$
(ii)$\ \ a^2=1 \ \ のとき \quad 29 < b^2 < 39 \ \ より\ \ b^2=36 \quad よって \quad m=1^2+6^2=37$
(iii)$\ \ a^2=4 \ \ のとき \quad 26 < b^2 < 36 \ \ これを満たす \ b\ はない$
(iv)$\ \ a^2=9 \ \ のとき \quad 21 < b^2 < 31 \ \ より \ \ b^2=25 \quad よって \quad m=3^2+5^2=34$
(v)$\ \ a^2=16 \ \ のとき \quad 14 < b^2 < 24 \ \ より \ \ b^2=16 \quad よって \quad m=4^2+4^2=32$
$a \ はこれですべてだから \quad m=32,\ \ 34,\ \ 36,\ \ 37$
(2)
$性質 \ P\ をみたす \ 2\ つの整数を \ m,\ n \ \ とすると$
$m=|z^2|\ \ (z=a+bi),\quad n=|w^2|\ \ (w=c+di)\ \ をみたす整数 \ a,\ b,\ c,\ d\ が存在する。$
$このとき$
\begin{eqnarray*} mn &=&|z^2||w^2|\\ \\ &=&(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\ \\ &=&a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\\ \\ &=&(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\\ \end{eqnarray*}
$\alpha =(ac+bd)+(ad-bc)i \ \ は実部、虚部ともに整数で$
$\ell =|\alpha^2| \ \ とおくと \quad mn=\ell $
$(よって、性質 \ P\ をみたす整数 \ 2\ つの積は、性質 \ P\ をみたす。$
(3)
$z=a+bi \ \ に対して \ \ s,\ t\ \ を整数とすると$
(i)$\ \ a=2s,\ \ b=2t \ \ のとき$
$\quad a^2+b^2=(2s)^2+(2t)^2=4(s^2+t^2) $
(ii)$\ \ a=2s,\ \ b=2t+1 \ \ のとき$
$\quad a^2+b^2=(2s)^2+(2t+1)^2=4(s^2+t^2+t)+1 $
(iii)$\ \ a=2s+1,\ \ b=2t\ \ のとき$
$\quad a^2+b^2=(2s+1)^2+(2t)^2=4(s^2+t^2+s)+1 $
(iv)$\ \ a=2s+1,\ \ b=2t+1 \ \ のとき$
$\quad a^2+b^2=(2s+1)^2+(2t+1)^2=4(s^2+t^2+s+t)+2 $
$性質 \ P\ をみたす数 \ \ m=|z^2|\ は$(i) ～ (iv)$のいずれかで表されるが、これらは、4k,\ 4k+1,\ 4k+2\ の形の整数である。$
$よって、4\ で割った余りが \ 3\ であるような整数は、性質 \ P\ をみたさない。$
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