神戸大学(理系) 2026年 問題2
$関数 \ f(x)\ を \ \ f(x)=\sin (\log x) \cos (\log x)\ \ (1 \leqq x \leqq e^{\pi})\ \ と定める。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ y=f(x)\ のグラフの概形を図示せよ。グラフの凹凸は調べなくてよい。$
$(2)\ \ y=f(x)\ のグラフと \ x\ 軸で囲まれた部分のうち、 y \geqq 0 \ \ である部分の面積を求めよ。$
(1)
$f(x)=\sin (\log x) \cos (\log x)=\dfrac{1}{2}\sin (2\log x)$
$\log x=t \ \ とおくと \ \ f(x)\ は \ g(t)=\dfrac{1}{2}\sin 2t \ \ に対応し、1 \leqq x \leqq e^{\pi} \ は \ \ 0 \leqq t \leqq \pi \ \ に対応する。$
$t=\log x \ \ は単調増加だから \ g(t)\ と \ f(x) \ の増減は対応する。$
$t=\dfrac{\pi}{4}\ \ で極大となり、極大値 \ \ \dfrac{1}{2}\ \ をもち、$
$t=\dfrac{3}{4}\pi \ \ で極小となり、極小値 \ \ -\dfrac{1}{2}\ \ を$
$もつから$
$f(x)\ は \ \ x=e^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{4}}}\ \ で極大値 \ \ \dfrac{1}{2}、x=e^{\scriptsize{\dfrac{3}{4}\pi}}\ \ で極小値 \ \ -\dfrac{1}{2}\ \ をもつ。$
$y=f(x) のグラフは右図のとおり$
(2)
\[S=\int_1^{e^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}} f(x)dx\] \[ \log x=t \ \ とおくと \quad x=e^t \quad dx=e^tdt \quad \begin{array}{c|c} x & 1\ \ \rightarrow e^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \quad \\ \hline t & \ 0 \ \ \rightarrow \dfrac{\pi}{2} \\ \end{array} \] \[S=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} \dfrac{1}{2}\sin 2t \cdot e^tdt= \dfrac{1}{2}\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^t \sin 2t dt\] \[I=\int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^t \sin 2t dt \ \ とおくと\] \begin{eqnarray*} I &=&\big[e^t\sin 2t\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} - \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^t \cdot 2\cos 2t dt\\ \\ &=&- 2 \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^t \cos 2t dt\\ \\ &=&-2\big\{\big[e^t\cos 2t\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} + \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^t \cdot 2\sin 2t dt\big\}\\ \\ &=&-2\big\{- e^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}-1 + 2 \int_0^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}} e^t \sin 2t dt\big\}\\ \\ &=&2\big(1+e^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\big) -4I\\ \end{eqnarray*} $5I=2\big(1+e^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\big)$
$\therefore \ \ I=\dfrac{2}{5}\big(1+e^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\big)$
$よって \quad S=\dfrac{1}{2}I=\dfrac{1}{5}\big(1+e^{\scriptsize{\dfrac{\pi}{2}}}\big)$
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