神戸大学(理系) 2026年 問題1
$1\ 個のさいころを \ 3\ 回続けて投げ、出た目の数を順に \ a,\ b,\ c\ とおく。多項式 \ f(x),\ \ g(x)\ を$
$\quad f(x)=2x^3+ax^2+3x+b,\qquad g(x)=x^2+cx+1 $
$とし、f(x)\ を \ g(x)\ で割ったときの余りを \ r(x) \ とおく。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ r(x)\ が \ 0\ である確率を求めよ。$
$(2)\ \ r(x)\ が \ 0\ でなく、かつ、r(x)\ の次数が \ 0\ である確率を求めよ。$
$(3)\ \ 方程式 \ g(x)=0\ が有理数の解をもつ確率を求めよ。ただし、50\ 以下の正の整数 \ n\ に対し、n\ が$
$\quad 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49\ のいずれとも異なるならば、\sqrt{n}\ が無理数であることを必要に応じて用いてよい。$
$(4)\ \ r(x)の次数が\ 1\ であり、かつ、g(x)\ が \ r(x)\ で割り切れる確率を求めよ。$
(1)
$r(x)=\big(1-c(a-2c)\big)x-a+b+2c$
$r(x) \equiv 0 \quad だから$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1-c(a-2c)=0 \hspace{5em}①\\ -a+b+2c=0 \hspace{5.5em}②\\ \end{array} \right. \]
$①より \quad c(a-2c)=1$
$c,\ \ a-2c\ \ は正の整数だから \quad c=1,\quad a-2c=1$
$\therefore \ \ a=2c+1=3$
$これらを②に代入して \quad b=a-2c=1$
$よって \quad (a,\ b,\ c)=(3,\ 1,\ 1)\ \ の \ 1\ 通りだから求める確率は \quad p=\dfrac{1}{6^3}=\dfrac{1}{216}$
(2)
$r(x)\ の次数が \ 0\ だから \quad 1-c(a-2c) =0$
$これを満たす \ a,\ c\ は(1)より \quad a=3, \quad c=1$
$r(x)\ は \ 0\ でないから 定数項は \ 0\ でない。$
$-a+b+2c \ne 0 \quad -3+b+2 \ne0 \quad b \ne 1$
$よって \quad b=2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\ の \ 5\ 通りだから求める確率は \quad p=\dfrac{5}{6^3}=\dfrac{5}{216}$
(3)
$g(x)=x^2+cx+1=0 \ \ の解は \quad x=\dfrac{-c \pm \sqrt{c^2-4}}{2}$
$これが有理数である条件は \ \ D=c^2-4 \ \ が平方数となることだから$
$c=1 \ \ のとき \ \ D=-3 \ \ となり虚数解$
$c=2 \ \ のとき \ \ D=0 \ \ だから \quad x=-\dfrac{c}{2} \ \ なる有理数解をもつ$
$c=3,\ 4,\ 5,\ 6\ \ のとき、それぞれ \ \ D=5,\ 12,\ 21,\ 32\ となり \ \ \sqrt{D}\ はいずれも無理数$
$g(x)=0\ が有理数の解をもつかどうかに \ a,\ b\ は無関係だからそれぞれ \ 6\ 通りある。$
$したがって、g(x)=0\ が有理数の解をもつ確率は \quad p=\dfrac{6 \times 6 \times 1}{6^3}=\dfrac{1}{6}$
(4)
$g(x)\ が \ r(x)\ (r(x) は \ 1\ 次式)\ で割り切れるならば \ \ g(x)=r(x)(px+q)\ \ を満たす有理数 \ p,\ q\ が存在する。$
$g(x)\ が、有理数 \ \alpha,\ \ \beta \ \ を用いて \ \ g(x)=(x-\alpha)(x-\beta)\ \ と因数分解されるのは$
$g(x)=0 \ \ が有理数解\ \ \alpha ,\ \ \beta \ \ をもつときである。$
$それは(3)より \ \ c=2\ \ のときで、このとき、g(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2 ,\quad r(x)=(9-2a)x-a+b+4 $
$このとき、(x+1)^2=\big\{(9-2a)x-a+b+4\big\}(px+q)$
$因数分解の一意性から \quad x+1 \equiv k\big\{(9-2a)x-a+b+4\big\} \ \ (k\ は整数で \ k \ne 0) \ \ とおける$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1=k(9-2a) \\ 1=k(-a+b+4) \\ \end{array} \right. \] $k(9-2a)=k(-a+b+4)$
$ k \ne 0 \ \ だから \quad 9-2a=-a+b+4$
$a+b=5$
$これを満たす \ a,\ b\ は \quad (a,\ b)=(1,\ 4),\ (2,\ 3),\ (3,\ 2),\ (4,\ 1)\ の \ 4\ 通り$
$したがって \quad (a,\ b,\ c)=(1,\ 4,\ 2),\ (2,\ 3,\ 2),\ (3,\ 2,\ 2),\ (4,\ 1,\ 2)\ \ だから求める確率は \quad p=\dfrac{4}{6^3}=\dfrac{1}{54}$
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