神戸大学(理系) 2024年 問題3
$n\ を自然数とする。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ 1\ 個のサイコロを投げて出た目が必ず \ n\ の約数となるような \ n\ を小さい順に \ 3\ つ求めよ。$
$(2)\ \ 1\ 個のサイコロを投げて出た目が \ n\ の約数となる確率が \ \dfrac{5}{6}\ であるような \ n\ を小さい順に \ 3\ つ求めよ。$
$(3)\ \ 1\ 個のサイコロを \ 3\ 回投げて出た目の積が \ 160\ の約数となる確率を求めよ。$
(1)
$n\ は \ \ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \ \ の倍数だから \ \ 3,\ 4,\ 5\ の倍数である。$
$したがって \ n\ は \ \ 3 \times 4 \times 5=60\ \ の倍数である。$
$小さい順に \ 3\ つあげると \ \ 60,\ 120,\ 180$
(2)
$n\ は \ \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\ のうち \ 5\ つをつかってできる倍数である。$
(i)$\ \ 6\ を除いた \ \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\ でできる倍数は \ \ 3 \times 4 \times 5=60 \ であるが、これは \ 6\ の倍数でもあるから不適$
(ii)$\ \ 5\ を除いた \ \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6\}\ でできる倍数は \ \ 3 \times 4 =12 \ で、確かに \ 5\ の倍数でない。$
(iii)$\ \ 4を除いた \ \{1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6\}\ でできる倍数は \ \ 2 \times 3 \times 5=30 \ で、確かに \ 4\ の倍数でない。$
(iv)$\ \ 3\ を除いた \ \{1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6\}\ でできる倍数は \ \ 4 \times 5 \times 6=120\ であるが、これは \ 3\ の倍数でもあるから不適$
(v)$\ \ 2\ を除いた \ \{1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\} でできる倍数は \ \ 3 \times 4 \times 5=60\ であるが、これは \ 2\ の倍数でもあるから不適$
$以上、12,\ 30\ の倍数で、小さい順に \ 3\ つあげると \quad 12,\ 24,\ 30$
(3)
$サイコロを \ 3\ 回投げて出た目を \ (a,\ b,\ c)\ とし、積 \ abc=n\ とおく。$
$160=2^5 \times 5 \quad だから$
$(ア)\ \ 出た目に5\ を含まない場合$
(i)$\ \ n=1\ の場合 \ \ (1,\ 1,\ 1)\ の順列で \ 1\ 通り$
(ii)$\ \ n=2\ の場合 \ \ (1,\ 1,\ 2)\ の順列で \ 3\ 通り$
(iii)$\ \ n=2^2\ の場合 \ \ (1,\ 2,\ 2)\ の順列で \ 3\ 通り,\quad (1,\ 1,\ 4)\ の順列で \ 3\ 通り$
(iv)$\ \ n=2^3\ の場合 \ \ (2,\ 2,\ 2)\ の順列で \ 1\ 通り,\quad (1,\ 2,\ 4)\ の順列で \ 6\ 通り$
(v)$\ \ n=2^4\ の場合 \ (1,\ 4,\ 4)\ の順列で \ 3\ 通り,\quad (2,\ 2,\ 4)\ の順列で \ 3\ 通り$
(vi)$\ \ n=2^5\ の場合 \ (2,\ 4,\ 4)\ の順列で \ 3\ 通り$
$(イ)\ \ 出た目に5\ を含む場合$
(i)$\ \ n=5\ の場合 \ \ (1,\ 1,\ 5)\ の順列で \ 3\ 通り$
(ii)$\ \ n=2 \times 5 \ の場合 \ \ (1,\ 2,\ 5)\ の順列で \ 6\ 通り$
(iii)$\ \ n=2^2 \times 5\ の場合 \ \ (2,\ 2,\ 5)\ の順列で \ 3\ 通り,\quad (1,\ 4,\ 5)\ の順列で \ 6\ 通り$
(iv)$\ \ n=2^3 \times 5\ の場合 \ \ (2,\ 4,\ 5)\ の順列で \ 6\ 通り$
(v)$\ \ n=2^4 \times 5\ の場合 \ \ (4,\ 4,\ 5)\ の順列で \ 3\ 通り$
$以上の合計 \ \ 53\ 通り$
$求める確率は \quad \cfrac{53}{6^3}=\cfrac{53}{216}$
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