神戸大学(理系) 2018年 問題3
$さいころを \ 3\ 回ふって、1\ 回目に出た目の数を \ a、2\ 回目と \ 3\ 回目に出た目の数の和を \ b\ とし、2\ 次方程式$
$\qquad x^2-ax+b=0 \cdots (*)\ \ を考える。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ (*)\ が \ x=1\ を解にもつ確率を求めよ。$
$(2)\ \ (*)\ が整数を解にもつとする。このとき \ (*)\ の解はともに正の整数であり、また少なくとも \ 1\ つの解は$
$\quad 3\ 以下であることを示せ。$
$(3)\ \ (*)\ が整数を解にもつ確率を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ a,\ b\ の組合せごとに、さいころを \ 3\ 回ふって出た目の根元事象を調べます。$
$(2)\ \ 「少なくとも \ 1\ つは \ 3\ 以下」の否定は「2\ つとも \ 3\ より大きい」です。$
$(3)\ \ (2)より、調べる範囲が限られます。$
(1)
$明らかに \ b \geqq 2 \ である。b\ の値に対する \ 2\ 回目と \ 3\ 回目に出た目の組合せは$
\[ \begin{array}{c |c} b & 2\ 回目と \ 3\ 回目に出た目 \hspace{4em}\\ \hline 2 & (1,1) \hspace{11em}\\ \hline 3 & (1,2),(2,1) \hspace{8em}\\ \hline 4 & (1,3),(2,2),(3,1) \hspace{5em}\\ \hline 5 & (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) \hspace{3em}\\ \hline 6 & (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) \\ \hline 8 & (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) \\ \hline 9 & (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) \hspace{3em}\\ \end{array} \]
$\quad x=1 \ を解にもつから$
$\qquad 1-a+b=0 \qquad \therefore \ \ b=a-1$
$\quad a,\ b\ の組合せは$
\[ \begin{array}{c |c c c c c} a & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline b & 2 & 3 & 4 & 5\\ \end{array} \] $\quad b\ の値に対する \ 2\ 回目と \ 3\ 回目の目の出方は上の表をみて、3\ 回の目の出方は$
$\qquad a=3,\quad b=2\ \ のとき \quad (3,1,1)$
$\qquad a=4,\quad b=3\ \ のとき \quad (4,1,2),\ (4,2,1)$
$\qquad a=5,\quad b=4\ \ のとき \quad (5,1,3),\ (5,2,2),\ (5,3,1)$
$\qquad a=6,\quad b=5\ \ のとき \quad (6,1,4),\ (6,2,3),\ (6,3,2),\ (6,4,1)$
$\quad の合計 \ 10\ 通り$
$よって、求める確率は \quad p_1=\cfrac{10}{6^3}=\cfrac{5}{108}$
(2)
$2つの解を \ \alpha ,\ \beta \ \ とおくと、解と係数の関係より$
$\quad \alpha + \beta =a > 0,\quad \alpha \ \beta =b >0 \quad だから \quad \alpha > 0,\ \ \beta > 0 $
$後半は背理法で示す。$
$\quad \alpha ,\ \ \beta \ がともに \ 3\ より大とすると$
$\quad \alpha + \beta > 6 \quad よって \quad a > 6 \ \ となり \ \ a=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \ \ に矛盾する。$
$よって、\alpha ,\ \beta \ \ のうち少なくとも \ 1\ つは \ 3\ 以下である。$
(3)
$(2)より \quad \alpha \leqq 3 ,\quad \beta \geqq \alpha \ \ としてよい。$
$したがって \quad \alpha +\beta =a \quad より \quad \beta =a-\alpha \geqq \alpha \qquad \therefore \ \ a \geqq 2\alpha $
(i)$\ \ \alpha =1 \quad のとき$
$\quad (1)より \ \ 10\ 通り$
(ii)$\ \ \alpha =2 \quad のとき$
$\qquad 2^2-2a+b=0 \quad より \quad b=2a-4$
$\quad また a \geqq 2 \times 2=4 \quad だから$
$\quad a,\ bの組合せは$
\[ \begin{array}{c |c c c c c} a & 4 & 5 & 6\\ \hline b & 4 & 6 & 8\\ \end{array} \] $\quad b\ の値に対する \ 2\ 回目と \ 3\ 回目の目の出方は上の表をみて、3\ 回の目の出方は$
$\quad a=4,\quad b=4\ \ のとき \quad (4,1,3),\ (4,2,2),\ (4,3,1)$
$\quad a=5,\quad b=6\ \ のとき \quad (5,1,5),\ (5,2,4),\ (5,3,3),\ (5,4,2),\ (5,5,1)$
$\quad a=6,\quad b=8\ \ のとき \quad (6,2,6),\ (6,3,5),\ (6,4,4),\ (6,5,3),\ (6,6,2)$
$\quad 合計 \ 13\ \ 通り$
(iii)$\ \ \alpha =3 \quad のとき$
$\qquad 3^2-3a+b=0 \quad より \quad b=3a-9$
$\quad また a \geqq 2 \times 3=6 \quad だから$
$\quad a,\ bの組合せは$
\[ \begin{array}{c |c c c c c} a & 6\\ \hline b & 9\\ \end{array} \] $\quad b\ の値に対する \ 2\ 回目と \ 3\ 回目の目の出方は上の表をみて、3\ 回の目の出方は$
$\quad a=6,\quad b=9\ \ のとき \quad (6,3,6),\ (6,4,5),\ (6,5,4),\ (6,6,3)$
$\quad 合計 \ 4\ 通り$
(i),(ii),(iii)$\ \ は互いに排反だから$
$\quad 全部で \quad 10+13+4=27\ \ 通り$
$よって、求める確率は \quad p_3=\cfrac{27}{6^3}=\cfrac{1}{8}$
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