慶応大学(理系) 2025年　問題3


$点P,\ Qを数直線の原点におき、1\ 個のさいころを投げて出た目に応じて \ P,\ Q\ を動かす。偶数の目が出たと$
$きは\ P\ を正の向きに \ 1\ だけ動かし、5\ または \ 6\ の目が出たときは \ Q\ を正の向きに \ 1\ だけ動かす。たとえば、$
$6\ の目が出たときは \ P,\ Q\ をともに正の向きに \ 1\ だけ動かす。P\ と \ Q\ の\ 距離が初めて \ 2\ となるまでさいころ$
$を投げ続けることとし、PとQの距離が2となったら、それ以降はさいころを投げない。n回さいころを投げて$
$PとQの距離が \ 2\ となる確率を \ p_n\ とする。$
$(1)\ \ p_2=\fbox{$\quad (シ) \quad \ $}である。$
$(2)\ \ n\ 回さいころを投げて、P\ が \ Q\ より正の向きに \ 1\ だけ進んでいる確率を \ x_n,PとQが同じ位置にある確率$
$\quad を \ y_n,\ Q\ が \ P\ より正の向きに \ 1\ だけ進んでいる確率を \ z_n\ とすると$
$\hspace{5em} y_{n+1}=\fbox{$\quad (ス) \quad \ $}x_n+\fbox{$\quad (セ) \quad \ $}y_n+\fbox{$\quad (ソ) \quad \ $}z_n$
$\quad という関係式が成立する。また、x_n=\fbox{$\quad (タ) \quad \ $}z_n \ が成り立つ。ただし、\fbox{$\quad (ス) \quad \ $} ～ \fbox{$\quad (タ) \quad \ $}には数を記入$
$\quad すること。$
$(3)\ \ 関係式 \ \ z_{n+1}+\alpha y_{m+1}=\beta(z_n+\alpha y_n) \ \ を満たす整数の組 \ (\alpha,\ \beta)\ は、\fbox{$\quad (チ) \quad \ $}　と \fbox{$\quad (ツ) \quad \ $}の \ 2\ 組ある。$
$(4)\ \ p_n \ を \ n\ を用いて表すと \ \ p_n=\fbox{$\quad (テ) \quad \ $}となる。$


(1)


$p_2\ はさいころを \ 2\ 回投げたとき、P\ と \ Q\ の距離が \ 2\ となる確率だから次の \ 2\ 通りの場合がある。$

(i)$\ \ P\ が \ +2\ で、Q\ が \ 0\ の場合$

$\quad \{2,\ 4\}\ の目が \ 2\ 回出ればよいからこの確率は \quad \big(\dfrac{1}{3}\big)^2=\cfrac{1}{9}$

(ii)$\ \ Q\ が \ +2\ で、P\ が \ 0\ の場合$

$\quad \{5\}\ の目が \ 2\ 回出ればよいからこの確率は \quad \big(\dfrac{1}{6}\big)^2=\cfrac{1}{36}$

(i),(ii)$\ \ は互いに排反だから \quad p_2=\cfrac{1}{9}+\cfrac{1}{36}=\cfrac{5}{36}$


(2)


$y_{n+1} \ はさいころを \ (n+1)\ 回投げたとき、P\ と \ Q\ が同じ位置にある確率だから、次の \ 3\ 通りの場合がある。$

(i)$\ \ n\ 回投げて、P\ が \ Q\ より\ 1\ だけ進んでいる状態から、(n+1)\ 回目に\{5\}の目が出て、Q\ が \ +1 \ 進んで$

$\quad 同じ位置になる場合。この確率は \quad x_n \times \cfrac{1}{6}$

(ii)$\ \ n\ 回投げて、P\ と \ Q\ が同じ位置にある状態から、(n+1)\ 回目に\ \{1,\ 3,\ 6\}\ の目が出て、再び同じ位置に$
$\quad なる場合。\quad この確率は \quad y_n \times \cfrac{1}{2}$

(iii)$\ \ n\ 回投げて、Q\ が \ P\ より\ 1\ だけ進んでいる状態から、(n+1)\ 回目に\ \{2,\ 4\}\ の目が出て、P\ が \ +1$

$\quad 進んで同じ位置になる場合。この確率は \quad z_n \times \cfrac{1}{3}$

(i),(ii),(iii)$\ \ は互いに排反だから \qquad y_{n+1}=\cfrac{1}{6}x_n+\cfrac{1}{2}y_n+\cfrac{1}{3}z_n$


$同様にして、x_{n+1},\ \ z_{n+1}\ を求める。$

$x_{n+1}\ はさいころを \ (n+1)\ 回投げたとき、、P\ が \ Q\ より\ 1\ だけ進んでいる確率だから、次の \ 3\ 通りの場合がある。$

(i)$\ \ n\ 回投げて、P\ が \ Q\ より\ 1\ だけ進んでいる状態から、(n+1)\ 回目に \ \{1,\ 3,\ 6\}\ の目が出て、再び同じ位置に$

$\quad なる場合。この確率は \quad x_n \times \cfrac{1}{2}$

(ii)$\ \ n\ 回投げて、P\ と \ Q\ が同じ位置にある状態から、(n+1)\ 回目に \ \{2,\ 4\}\ の目が出て、、P\ が \ +1 \ 進む場合。$

$\quad この確率は \quad y_n \times \cfrac{1}{3}$

(iii)$\ \ n\ 回投げて、Q\ が \ P\ より\ 1\ だけ進んでいる状態から、(n+1)\ 回目にP\ が \ Q\ より\ +1\ だけ進む状態に$

$\quad なることはない。$

(i),(ii)$\ \ は互いに排反だから \quad x_{n+1}=\cfrac{1}{2}x_n + \cfrac{1}{3}y_n$

$z_{n+1}\ はさいころを \ (n+1)\ 回投げたとき、、Q\ が \ P\ より\ 1\ だけ進んでいる確率だから、次の \ 3\ 通りの場合がある。$

(i)$\ \ n\ 回投げて、P\ が \ Q\ より\ 1\ だけ進んでいる状態から、(n+1)\ 回目に \ Q\ が \ P\ より\ +1\ だけ進む状態に$

$\quad なることはない。$

(ii)$\ \ n\ 回投げて、P\ と \ Q\ が同じ位置にある状態から、(n+1)\ 回目に \ \{5\}\ の目が出て、Q\ が \ +1\ 進む場合。$

$\quad この確率は \quad y_n \times \cfrac{1}{6}$

(iii)$\ \ n\ 回投げて、Q\ が \ P\ より\ 1\ だけ進んでいる状態から、(n+1)\ 回目に \ \{1,\ 3,\ 6\}\ の目が出て、再び同じ位置に$

$\quad なる場合。\quad この確率は \quad z_n \times \cfrac{1}{2}$

(ii),(iii)$\ \ は互いに排反だから \quad z_{n+1}=\cfrac{1}{6}y_n+\cfrac{1}{2}z_n$


$以上の漸化式をまとめると$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} y_{n+1}=\cfrac{1}{6}x_n+\cfrac{1}{2}y_n+\cfrac{1}{3}z_n \hspace{5em}①\\ x_{n+1}=\cfrac{1}{2}x_n+\cfrac{1}{3}y_n \hspace{8em}②\\ z_{n+1}=\cfrac{1}{6}y_n+\cfrac{1}{2}z_n \hspace{8em}③\\ \end{array} \right. \]
$②- 2 \times ③\ \ で \ y_n \ を消去すると$

$x_{n+1}- 2z_{n+1}=\cfrac{1}{2}x_n -z_n=z_1=\cfrac{1}{2}(x_n -2z_n)$

$数列 \ \{x_n -2z_n\}\ は公比 \ \cfrac{1}{2}\ の等比数列であるが、初項 \ x_1-2z_1=\cfrac{1}{3}-2 \times \cfrac{1}{6}=0 \ \ だから$

$\quad x_n -2z_n \equiv 0 \quad \therefore x_n=2z_n$


(3)


$x_n=2z_n \ を$

$①に代入して \quad y_{n+1}=\cfrac{1}{3}z_n+\cfrac{1}{2}y_n+\cfrac{1}{3}z_n=\cfrac{1}{2}y_n+\cfrac{2}{3}z_n$

$②に代入して \quad z_{n+1}=\cfrac{1}{2}z_n+\cfrac{1}{6}y_n$

$したがって$
\begin{eqnarray*} & &z_{n+1}+\alpha y_{n+1}\\ \\ &=&\big(\dfrac{1}{2}z_n+\cfrac{1}{6}y_n\big) + \alpha \big(\dfrac{1}{2}y_n+\cfrac{2}{3}z_n\big)\\ \\ &=&\big(\dfrac{1}{2}+ \dfrac{2}{3}\alpha \big)z_n +\big(\dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{2}\alpha \big)y_n\\ \\ &=&\dfrac{1}{6}(3+4\alpha)z_n +\dfrac{1}{6}(1+ 3\alpha )y_n\\ \\ &=&\dfrac{3+4\alpha }{6}\big(z_n +\dfrac{1+3\alpha}{3+4\alpha}y_n\big)\\ \end{eqnarray*} $z_{n+1}+\alpha y_{m+1}=\beta(z_n+\alpha y_n) \ \ を満たすから$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \beta =\dfrac{3+4\alpha }{6} \hspace{5em}④\\ \alpha =\dfrac{1+3\alpha}{3+4\alpha} \hspace{5em}⑤\\ \end{array} \right. \] $⑤より　\alpha (3+4\alpha )=1+3\alpha $

$4\alpha ^2=1 \qquad \alpha =\pm \cfrac{1}{2}$

$それぞれ④に代入して$

$\alpha =\cfrac{1}{2} \ \ のとき \quad \beta=\cfrac{3+2}{6}=\cfrac{5}{6}$

$\alpha =-\cfrac{1}{2}\ \ のとき \quad \beta=\cfrac{3-2}{6}=\cfrac{1}{6}$

$よって求める定数の組 \ (\alpha,\ \beta)\ は \ \ (\cfrac{1}{2},\ \cfrac{5}{6}) \ と \ (-\cfrac{1}{2},\ \cfrac{1}{6})\ の \ 2\ 組$


(4)


(i)$\ \ (\alpha,\ \beta)=(\cfrac{1}{2},\ \cfrac{5}{6})\ \ の場合 \quad z_{n+1}+\cfrac{1}{2}y_{m+1}=\cfrac{5}{6}(z_n+\cfrac{1}{2} y_n) \ \ より$

$\quad z_n+\cfrac{1}{2}y_n=\big(z_1+\cfrac{1}{2}y_1\big)\big(\dfrac{5}{6}\big)^{n-1}= \big(\dfrac{1}{6}+\cfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\big)\big(\dfrac{5}{6}\big)^{n-1}= \dfrac{5}{12}\big(\dfrac{5}{6}\big)^{n-1}=\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{5}{6}\big)^n$

(ii)$\ \ (\alpha,\ \beta)=(-\cfrac{1}{2},\ \cfrac{1}{6}) \ \ の場合 \quad z_{n+1}-\cfrac{1}{2}y_{m+1}=\cfrac{1}{6}(z_n-\cfrac{1}{2} y_n) \ \ より$

$\quad z_n-\cfrac{1}{2}y_n=\big(z_1-\cfrac{1}{2}y_1\big)\big(\dfrac{1}{6}\big)^{n-1}= \big(\dfrac{1}{6}-\cfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\big)\big(\dfrac{1}{6}\big)^{n-1}= -\dfrac{1}{12}\big(\dfrac{1}{6}\big)^{n-1}=-\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{1}{6}\big)^n$

$上の \ 2\ 式を辺々加えて$

$2z_n=\dfrac{1}{2}\big(\dfrac{5}{6}\big)^n - \dfrac{1}{2}\big(\dfrac{1}{6}\big)^n \qquad \therefore \ \ z_n=\dfrac{1}{4}\big\{\big(\dfrac{5}{6}\big)^n - \big(\dfrac{1}{6}\big)^n \big\}$

$ところで、さいころを \ (n+1)\ 回投げて \ P\ と \ Q\ の距離が \ 2\ となる事象は次の \ 2\ 通りがある。$

(i)$\ \ n\ 回投げて、P\ が \ Q\ より正の向きに \ 1\ だけ進んでいる状態から \ (n+1)\ 回目に \ \{2,\ 4\}\ の目が出て距離が$

$\quad 2\ になる場合 \quad この確率は \quad x_n \times \cfrac{1}{3}$

(ii)$\ \ n\ 回投げて、Q\ が \ P\ より正の向きに \ 1\ だけ進んでいる状態から \ (n+1)\ 回目に \ \{5\}\ の目が出て距離が$

$\quad 2\ になる場合 \quad この確率は \quad z_n \times \cfrac{1}{6}$

(i),(ii)$\ \ は互いに排反だから$
\begin{eqnarray*} p_{n+1} &=&\cfrac{1}{3}x_n + \cfrac{1}{6}z_n \\ \\ &=&\cfrac{2}{3}z_n + \cfrac{1}{6}z_n \hspace{5em}(\ (2)より)\\ \\ &=&\cfrac{5}{6}z_n\\ \\ &=&\cfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{4}\big\{\big(\dfrac{5}{6}\big)^n - \big(\dfrac{1}{6}\big)^n \big\}\\ \\ &=&\cfrac{5}{24}\big\{\big(\dfrac{5}{6}\big)^n - \big(\dfrac{1}{6}\big)^n \big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big\{\big(\dfrac{5}{6}\big)^{n+1} - \dfrac{5}{6^{n+1}} \big\}\\ \\ \end{eqnarray*} $したがって \quad p_n=\cfrac{1}{4}\big\{\big(\dfrac{5}{6}\big)^n - \dfrac{5}{6^n} \big\}=\cfrac{5^n-5}{4 \cdot 6^n}$


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