慶応大学(理系) 2025年 問題1-3
$f(x)\ を微分可能な関数とし、g(x)=x^3+x\ とする。関数 \ g(x)\ は微分可能な逆関数 \ g^{-1}(x)\ をもつ。定数 \ t\ に$
$対して、関数 \ t^2x^2-f(g^{-1}(x))\ は \ x=t^3+t \ で極値をとるとする。このとき、f'(t)\ を \ t\ の多項式で表すと$
$f'(t)=\fbox{$\quad (オ) \quad \ $}\ となる。次に、任意の定数 \ t\ に対して、関数 \ t^2x^2-f(g^{-1}(x))\ は \ x=t^3+t \ で極値をとると$
$する。このとき、f(0)=-2 \ \ ならば \ \ f(1)=\fbox{$\quad (カ) \quad \ $}\ である。$
$y=g(x)=x^3+x \ のグラフは右図のとおりで、定義域、値域とも$
$すべての実数で、単調増加関数だから、x\ と \ g(x)\ は \ 1\ 対 \ 1\ 対応$
$である。(全単射ともいいます)$
$したがって、単調増加な \ g(x)\ の逆関数 \ g^{-1}(x) \ が存在する。$
$y=g^{-1}(x) \ のグラフは \ y=g(x)\ と直線 \ y=x\ に関して対称である。$
$g^{-1}(x)=u \ \ とおくと \ \ x=g(u)=u^3+u \ \ で \ \ f(g^{-1}(x))=f(u)\ \ だから $
$関数 \ \ t^2x^2-f(g^{-1}(x))\ \ は \ \ h(u)=t^2(u^3+u)^2-f(u)\ \ と表される。$
$x=t^3+t \ \ のとき \ \ u^3+u=t^3+t \ \ だから$
$u^3-t^3+u-t=0$
$(u-t)(u^2+tu+t^2)+(u-t)=0$
$(u-t)(u^2+tu+t^2+1)=0$
$u^2+tu+t^2+1=0 \ \ の判別式は \ \ D=t^2-4(t^2+1)=-3t^2-4 <0 \ \ より \ u\ は虚数となり不適$
$よって \ \ u=t$
$関数 \ \ t^2x^2-f(g^{-1}(x))\ \ は \ \ x=t^3+t \ \ で極値をとるから、h(u)=t^2(u^3+u)^2-f(u) \ \ は \ u=t \ で極値をとる。$
$h'(u)=2t^2(u^3+u)(3u^2+1)-f'(u) \ \ より$
$h'(t)=2t^2(t^3+t)(3t^2+1)-f'(t)=0$
$f'(t)=2t^2(t^3+t)(3t^2+1)=6t^7+8t^5+2t^3$
$次に、任意の実数 \ t\ に対して \ \ f'(t)=6t^7+8t^5+2t^3 \ \ が成りたつから$
$これを \ t\ の関数とみなして$
\[f(t)=\int (6t^7+8t^5+2t^3)dt=\cfrac{3}{4}t^8+\cfrac{4}{3}t^6+\cfrac{1}{2}t^4+C\]
$f(0)=-2 \ \ より \ \ C=-2$
$よって \quad f(1)=\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{3} + \cfrac{1}{2} -2=\cfrac{7}{12}$
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