金沢大学(理系) 2023年　問題4


$複素数 \ w=\cfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\ と自然数 \ L\ をとる。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ k,\ m\ が整数ならば、|k+mw|^2 \ \ も整数であることを示せ。$
$(2)\ \ |k| \leqq L \ を満たす整数 \ k\ に対して、|k+w|\ \ の最大値を求めよ。$
$(3)\ \ 整数 \ k,\ m\ が \ \ |k| \leqq L,\ \ |m| \leqq L ,\ \ |k-m| \leqq L \ \ を満たすとき、|k+mw| \leqq L \ \ を示せ。$
$(4)\ \ |k+mw| \leqq L \ \ を満たす整数の組 \ (k,\ m)\ の個数を \ N\ とする。不等式 \ \ N \geqq 3L^2+3L+1 \ \ を示せ。$


(1)


\begin{eqnarray*} & &|k+mw|^2\\ \\ &=&\big|k+m \times \cfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\big|^2\\ \\ &=&\big|\cfrac{(2k-m)+\sqrt{3}mi}{2}\big|^2\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big\{(2k-m)^2 + 3m^2\big\}\\ \\ &=&k^2-km+m^2\\ \end{eqnarray*}
$よって、k,\ m\ が整数ならば、|k+mw|^2 \ \ も整数である。$


(2)

　

$(1)で \ m=1\ とおくと $

$|k+w|^2=k^2-k+1=(k-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}$

$L\ は自然数だから \quad L \geqq 1,\quad -L \leqq -1$

$明らかに \ k=-L \ で最大となり$

$|k+w|^2=(-L)^2-(-L)+1=L^2+L+1 \quad より$

$|k+w|\ の最大値は \quad \sqrt{L^2+L+1} $


(3)


$|k+mw| \leqq L \ \ は　(1)より \quad k^2-km+m^2 \leqq L^2$

$(k,\ m)\ 平面で \quad k^2-km+m^2 = L^2 \ \ のグラフを考える。$

$座標軸を原点のまわりに \ \cfrac{\pi}{4}\ 回転させた軸を \ K,\ M\ 軸とすると$

$\qquad (このことについては($座標軸の平行移動・回転移動$)を参考にしてください。)$

$\quad k=K\cos \cfrac{\pi}{4} - M\sin \cfrac{\pi}{4}=\cfrac{K-M}{\sqrt{2}}$

$\quad m=K\sin \cfrac{\pi}{4} + M\cos \cfrac{\pi}{4}=\cfrac{K+M}{\sqrt{2}}$

$k^2-km+m^2 = L^2 \quad に代入して$

　

$\big(\cfrac{K-M}{\sqrt{2}}\big)^2-\big(\cfrac{K-M}{\sqrt{2}}\big)\big(\cfrac{K+M}{\sqrt{2}}\big)+\big(\cfrac{K+M}{\sqrt{2}}\big)^2=L^2$

$(K-M)^2-(K-M)(K+M)+(K+M)^2=2L^2$

$K^2+3M^2=2L^2$

$\cfrac{K^2}{2L^2}+\cfrac{M^2}{\dfrac{2L^2}{3}}=1 \quad これは右図のような楕円をあらわす。$

$したがって \quad k^2-km+m^2 \leqq L^2　\quad は楕円の内部をあらわす。$

$この点の集合を \ B\ とする。$

$|k| \leqq L,\ \ |m| \leqq L ,\ \ |k-m| \leqq L \ \ を満たす点(k,\ m)\ の集合 \ A\ は下の左図である。$

$\hspace{3em}$
$\hspace{6em}$


$集合 \ A\ と \ B\ を重ねると \ \ A \subset B \ \ となることがわかる。$

　

$命題 \ \ 「|k| \leqq L,\ \ |m| \leqq L ,\ \ |k-m| \leqq L \ \ を満たすならば、|k+mw| \leqq L \ \ である」$

$を集合の包含関係で表すと \ \ A \subset B\ \ であるから$

$この命題が成りたつことが示されたことになる。$


(4)


$(3)で、|k| \leqq L,\ \ |m| \leqq L ,\ \ |k-m| \leqq L \ \ を満たす点(k,m)の集合をAにおいて$

$とくに整数の組(k,\ m)\ \ (これを格子点といいます)\ \ の個数を調べると$

　

(i)$\ \ 領域の右半分について$

$\quad m\ 軸に平行な格子点(k,\ m)\ は \ \ m=(k-L) \sim L \quad だから$

$\quad L-(k-L)+1=2L-k+1 \ \ 個ある。$

$\quad k=1 \sim L\ \ について和をとると$

\[\quad \sum_{k=1}^L (2L-k+1)=(2L+1)L-\sum_{k=1}^L k=(2L+1)L-\cfrac{1}{2}L(L+1)=\cfrac{3}{2}L^2+\cfrac{1}{2}L\]
(ii)$\ \ 領域の左半分について$

$\quad 対称性から領域の右半分と同じ個数ある。$

(iii)$\ \ m\ 軸上の格子点$

$\quad (0,\ -L) \sim (0,\ L)\ \ の \ 2L+1\ 個ある。$

(i),(ii),(iii)$より集合 \ A\ の格子点の個数は$

$\quad 2 \times \big(\cfrac{3}{2}L^2+\cfrac{1}{2}L\big)+(2L+1)=3L^2+3L+1\ \ 個$

$|k+mw| \leqq L \ \ を満たす点の集合 \ B\ について(3)より \ A \subset B \ だったが$

$集合 \ \ \overline{A} \cap B \ \ の中に格子点がある可能性があるので$

$B\ の格子点の個数 \ N\ について \quad 　N \geqq 3L^2+3L+1 \ \ が成りたつ。$


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