金沢大学(理系) 2018年 問題3
$a,\ b,\ c\ を正の数とする。楕円 \ C:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1 \ \ が、4点 \ (c,\ 0),\ (0,\ c),\ (-c,\ 0),\ (0,\ -c)\ を頂点とする$
$正方形の各辺に接しているとする。4つの接点を頂点とする四角形の面積をS,楕円Cで囲まれる図形の$
$面積をTとする。このとき、不等式 \ \ \cfrac{S}{T} \leqq \cfrac{2}{\pi}\ \ が成り立つことを証明せよ。$
$また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。$
$(解説)$
$接する条件から接点の座標と \ a,\ b,\ c\ の関係式を導きます。$
$次に、SとTを求めて、この関係式をうまく使って不等式を導きます。$
(1)接点の座標について
$2点 \ (c,\ 0),\ (0,\ c)\ を通る楕円Cの接線 \ \ y=-x+c \ \ と楕円Cとの接点は$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} y=-x+c \hspace{7em}(1)\\ \cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1 \hspace{6em}(2)\\ \end{array} \right. \] $の解だから(1)を(2)に代入して$
$\quad b^2x^2+a^2(-x+c)^2=a^2b^2$
$\quad (a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2(c^2-b^2)=0$
$これが重解をもつから$
$\quad \cfrac{D}{4}=a^4c^2-(a^2+b^2)\cdot a^2(c^2-b^2)=0$
$a \ne 0 \quad だから \ \ a^2 で割って$
$\quad a^2c^2-(a^2+b^2)(c^2-b^2)=0$
$\quad a^2b^2-b^2c^2+b^4=0$
$b \ne 0 \quad だから \ \ b^2 \ \ で割って整理すると$
$\qquad c^2=a^2+b^2$
$このとき重解 \ \ (x_1,\ y_1)\ は$
$\qquad x_1=\cfrac{a^2c}{a^2+b^2}=\cfrac{a^2c}{c^2}=\cfrac{a^2}{c}$
$\qquad y_1=\cfrac{a^2}{c}+c=\cfrac{-a^2+c^2}{c}=\cfrac{b^2}{c}$
(2)2つの面積比について
$図形の対称性から$
(i)$\ \ 長方形の面積 \ S\ は$
$\quad S=4x_1y_1=4 \times \cfrac{a^2}{c} \times \cfrac{b^2}{c}=\cfrac{4a^2b^2}{c^2}$
(ii)$\ \ 楕円の面積 \ T\ は$
$\quad \cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1 \quad より \quad y=\cfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\quad だから$
\[T=4\int _0^a ydx=4\int _0^a \cfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}dx= \cfrac{4b}{a}\int _0^a \sqrt{a^2-x^2}dx= \cfrac{4b}{a} \times \cfrac{\pi a^2}{4}=\pi ab\]
$また \quad (a-b)^2 \geqq 0 \quad より \quad a^2+b^2 -2ab \geqq 0 \quad だから \qquad 2ab \leqq a^2+b^2$
$よって$
$\qquad \cfrac{S}{T}=\cfrac{4a^2b^2}{c^2} \times \cfrac{1}{\pi ab}=\cfrac{4ab}{\pi c^2} \leqq \cfrac{2(a^2+b^2)}{\pi c^2}=\cfrac{2}{\pi}$
$ただし等号は \quad a=b \quad のときだから \quad a^2+b^2=c^2 \quad より \quad c^2=2a^2 \qquad \therefore c=\sqrt{2}a $
$したがって、 等号は \qquad a=b ,\quad c=\sqrt{2}a \quad のときである。$
$(1)の別解$
$楕円C:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1 \quad 上の点 \ (x_1,y_1)における接線は$
$\quad \cfrac{x_1}{a^2}x+\cfrac{y_1}{b^2}y=1 \quad であるから\ \ (このことについては$2次曲線の接線$を参考にしてください。）$
$これが2点 \ (c,\ 0),\ (0,\ c)\ を通る直線 \ \ \cfrac{x}{c}+\cfrac{y}{c}=1 \quad に一致するから$
$\quad \cfrac{x_1}{a^2}=\cfrac{1}{c},\qquad \cfrac{y_1}{b^2}=\cfrac{1}{c} \quad よって \quad x_1=\cfrac{a^2}{c},\qquad y_1=\cfrac{b^2}{c}$
$接点 \ (x_1,\ y_1)\ は楕円上の点だから \quad \cfrac{x_1^2}{a^2}+\cfrac{y_1^2}{b^2}=1 $
$x_1,\ y_1\ を代入して$
$\qquad \cfrac{(\cfrac{a^2}{c})^2}{a^2}+\cfrac{(\cfrac{b^2}{c})^2}{b^2}=1 \qquad \therefore a^2+b^2=c^2$
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