茨城大学(数学) 2024年 問題2
$数列 \ \{a_n\}\ を次の条件によって定める。$
$\qquad a_1=2024,\qquad a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1} a_n -1 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )$
$以下の各問に答えよ。$
$(1)\ \ b_n=na_n \ \ とする。数列 \ \{b_n\}\ の一般項と数列 \ \{a_n\} \ の一般項を求めよ。$
$(2)\ \ a_n \ の値が整数となるような \ n\ の個数を求めよ。$
$(3)\ \ |a_n|\ の最小値を求めよ。$
(1)
$a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1} a_n -1 \ \ の分母を払って$
$(n+1)a_{n+1}=na_n - (n+1)$
$na_n =b_n \ \ だから$
$b_{n+1}=b_n -(n+1) \quad ただし \quad b_1=a_1=2024$
$n \geqq 2 \quad のとき$
\begin{eqnarray*} b_n &=&b_1-\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)\\ \\ &=&2024-\cfrac{(n-1)n}{2}-(n-1)\\ \\ &=&2024-\cfrac{1}{2}(n^2-n)-n+1\\ \\ &=&2025-\cfrac{1}{2}(n^2+n)\\ \\ &=&2025-\cfrac{n}{2}(n+1)\\ \end{eqnarray*} $n=1 \ \ のとき$
$左辺=b_1=2024,\qquad 右辺=2025-\cfrac{1}{2} \times 2=2024 \quad よって \ \ n=1\ のときも成りたつから$
$b_n=2025-\cfrac{n}{2}(n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$よって \quad a_n=\cfrac{b_n}{n}=\cfrac{2025}{n}-\cfrac{n+1}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2)
$a_n=\cfrac{b_n}{n}=\cfrac{2025}{n}-\cfrac{n+1}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad において$
(i)$ \ \cfrac{2025}{n}=\cfrac{3^4 \times 5^2}{n} \ \ が整数となる \ n\ は \ \ 3^a \times 5^b \ \ (a=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ b=0,\ 1,\ 2)\ \ の形の数$
$\quad これは奇数で、n+1 \ は偶数となるから \ \ \cfrac{n+1}{2}\ \ は整数である。$
$\quad このような数は \quad 5 \times 3 =15\ 個ある。$
(ii)$\ \ n\ が偶数のとき \ \ n=2k \ \ (k\ は整数)\ \ とおくと$
$\quad a_{2k}=\cfrac{2025}{2k}-\cfrac{2k+1}{2}=\cfrac{2025}{2k}-\cfrac{1}{2}-k=\cfrac{2025-k}{2k}-k$
$\quad これが整数となる条件は \quad 2025-k=(2k)l \ \ (l\ は整数)\ \ のときだから$
$\quad (2l+1)k=2025=3^4 \times 5^2$
$\quad 2l+1 \ は奇数で、3^4 \times 5^2 \ \ も奇数だから \ \ k\ は奇数$
$\quad これを満たす \ 2l+1\ \ と \ k\ は \ \ 5 \times 3=15\ 組あるから 偶数 \ n\ は \ 15\ 個ある。$
$\quad 例えば、2l+1=3^2 \times 5, \quad k=3^2 \times 5 \quad ととると \quad n=2 \times 3^2 \times 5=90 \quad だから$
$\qquad a_{90}=-\cfrac{90+1}{2}+\cfrac{2025}{90}=\cfrac{-91 \times 5+225}{10}=-23 \ \ は整数である。$
(i),(ii)$ \ \ より \ \ a_n \ の値が整数となるような \ n\ の個数は全部で \ \ 30\ 個$
(3)
$a_n=\cfrac{2025}{n}-\cfrac{n+1}{2} \ \ は \ \ \cfrac{2025}{n}\ \ も \ \ -\cfrac{n+1}{2}\ \ も単調減少数列だから単調減少数列である。$
$a_1=2024 > 0$
$n=3^4=81 \ \ のとき \quad \cfrac{2025}{n}=5^2=25, \quad \cfrac{n+1}{2}=41 \quad だから \quad a_{81}=25-41=-16 < 0$
$したがって \quad a_m > 0 ,\ \ a_{m+1} < 0 \ \ となる整数 \ m\ が存在する。$
$\cfrac{2025}{x}=\cfrac{x+1}{2} の方程式の正の解を求めると$
$x^2+x-2 \times 3^4 \times 5^2=0$
$x=\cfrac{-1+\sqrt{1+4 \times 2 \times 3^4 \times 5^2}}{2} \fallingdotseq 3^2 \times 5 \times \sqrt{2}=45\sqrt{2} \fallingdotseq 63.6$
$a_{63}=\cfrac{2025}{63}-\cfrac{64}{2}=0.14$
$a_{64}=\cfrac{2025}{64}-\cfrac{65}{2}=-0.85$
$よって \ \ |a_n| \ の最小値は \ \ n=63 \ \ のときで$
$a_{63}=\cfrac{2025}{63}-\cfrac{64}{2}=\cfrac{3^2 \times 5^2}{7}-32=\cfrac{1}{7}$
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