茨城大学(理系) 2024年 問題4
$複素数 \ z\ は \ z^7=1 \ かつ \ z \ne 1\ を満たすとする。z\ と共役な複素数を \ \overline{z} \ で表すとき、以下の各問に答えよ。$
$(1)\ \ z\overline{z} \ \ の値を求めよ。$
$(2)\ \ z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1 \ \ の値を求めよ。$
$(3)\ \ z^6=\overline{z} \ \ が成り立つことを示せ。$
$(4)\ \ \cfrac{z+\overline{z}}{2}=t \ \ とおく。2t^3+t^2-t \ \ の値を求めよ。$
(1)
$z^7=1 \quad より \quad |z^7|=1 \qquad |z|^7=1 $
$これを満たす実数 \ |z|\ はただ \ 1\ つ存在して \quad |z|=1$
$したがって \quad z\overline{z}=|z|^2=1$
(2)
$z^7=1 \quad より \quad z^7-1=0$
$(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1 )=0$
$z \ne 1 \quad だから \quad z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$
(3)
\begin{eqnarray*} z^6-\overline{z} &=&\cfrac{z^7-z\overline{z}}{z}\\ \\ &=&\cfrac{z^7-1}{z}\\ \\ &=&0 \end{eqnarray*}
$よって \quad z^6=\overline{z}$
(4)
$(3)を一般化すると$
$z^7=1 \ \ の両辺に \ \ (\overline{z})^k \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots ,\ 7)\ \ をかけて$
$z^7(\overline{z})^k=(\overline{z})^k$
$z^{7-k}(z \overline{z})^k=\overline({z})^k$
$z^{7-k}=\overline({z})^k$
$よって \quad z^6=\overline{z},\quad z^5=(\overline{z})^2,\quad z^4=(\overline{z})^3,\quad z^3=(\overline{z})^4,\quad z^2=(\overline{z})^5, \quad z=(\overline{z})^6$
$このとき$
\begin{eqnarray*} & &2t^3+t^2-t\\ \\ &=&t(t+1)(2t-1)\\ \\ &=&\big(\cfrac{z+\overline{z}}{2}\big)\big(\cfrac{z+\overline{z}}{2}+1 \big)(z+\overline{z} -1)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(z+\overline{z})(z+\overline{z} +2)(z+\overline{z} -1)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big\{(z+\overline{z})^3+(z+\overline{z})^2-2(z+\overline{z})\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big\{(z^3+3z^2\overline{z}+3z(\overline{z})^2+(\overline{z})^3)+ (z^2+2z\overline{z}+(\overline{z})^2)-2(z+ \overline{z})\big \}\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big\{z^3+3z^2z^6+3zz^5+z^4+z^2+2zz^6+z^5-2z-2z^6\big \}\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big(z^3+3z+3z^6+z^4+z^2+2+z^5-2z-2z^6\big )\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\big(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+2\big)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}(-1+2)\\ \\ &=&\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}
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