北海道大学(理系) 2026年　問題5


$1\ 個のさいころを投げる試行を繰り返す。最初の持ち点は \ 1\ とし、3\ の目が出たときは持ち点を \ 3\ 倍、5\ の$
$目が出たときは持ち点を \ 5\ 倍、3\ と \ 5\ 以外の目が出たときは持ち点を \ 2\ 倍する。たとえば \ 3\ 回試行して出た$
$目が順番に \ 6,\ 3,\ 5\ のとき、持ち点は \ \ 1 \times 2=2,\ \ 2 \times 3=6,\ \ 6 \times 5=30 \ \ と変化し、最後の持ち点は \ 30\ である。$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ n \geqq 2 \ \ とする。n\ 回試行したとき、最後の持ち点が \ 4\ の倍数となる確率を求めよ。$
$(2)\ \ 持ち点がはじめて \ 15\ 以上となったときに試行を終了する。終了するまでに試行した回数の期待値を求めよ。$


(1)


$3\ と \ 5\ 以外の目が出る事象を、簡単に\ 2\ の目が出ることとする。$

$最後の持ち点が \ 4\ の倍数となる事象 \ A\ は、n\ 回の試行のうち　2\ の目が少なくとも \ 2\ 回出ることが必要である。$

$余事象 \ \overline{A}\ は \ 2\ の目が出る回数が \ 0\ 回か、1\ 回である。$

(i)$\ \ 2\ の目が出る回数が \ 0\ 回である確率は \quad p={}_nC_0 \big(\dfrac{2}{3}\big)^0 \big(\dfrac{1}{3}\big)^n=\dfrac{1}{3^n}$

(ii)$\ \ 2\ の目が出る回数が \ 1\ 回である確率は \quad p={}_nC_1 \big(\dfrac{2}{3}\big)^1 \big(\dfrac{1}{3}\big)^{n-1}=\dfrac{2n}{3^n}$

$したがって、最後の持ち点が \ 4\ の倍数となる確率 \ P(A)\ は$

$P(A)=1-\big(\dfrac{1}{3^n}+\dfrac{2n}{3^n}\big)=\dfrac{3^n-2n-1}{3^n}$


(2)


$持ち点がはじめて \ 15\ 以上となって終了するまでに試行した回数が一番大きいのは$

$2\ の目が連続して \ 4\ 回出たときで、持ち点は \ \ 1 \times 2^4=16\ \ である。$

(i)$\ \ 2\ 回で終了する確率 \ P_2 \ は$

$\quad (3,\ 5),\ \ (5,\ 3),\ \ (5,\ 5)\ \ で、P_2=\dfrac{1}{6^2} \times 3=\dfrac{9}{108}$

(ii)$\ \ 3\ 回で終了する確率 \ P_3 \ は$

$\quad (ア)\ \ 2の目が2回 \quad (2,\ 2,\ 5),\ \ (2,\ 5,\ 2),\ \ (5,\ 2,\ 2) \ \ で　 p=\dfrac{4^2}{6^3} \times 3$

$\quad (イ)\ \ 2の目が1回 \quad (2,\ 3,\ 3),\ \ (3,\ 2,\ 3),\ \ (3,\ 3,\ 2),\ \ (2,\ 3,\ 5),\ \ (2,\ 5,\ 3),\ \ (3,\ 2,\ 5),$

$\hspace{10em} (5,\ 2,\ 3),\ \ (2,\ 5,\ 5),\ \ (5,\ 2,\ 5)\ \ で　 p=\dfrac{4}{6^3} \times 9$

$\quad (ウ)\ \ 2の目が0回 \quad (3,\ 3,\ 3),\ \ (3,\ 3,\ 5))\ \ で　 p=\dfrac{1}{6^3} \times 2$

$\quad P_3= \dfrac{4^2}{6^3} \times 3 + \dfrac{4}{6^3} \times 9 + \dfrac{1}{6^3} \times 2=\dfrac{86}{6^3}=\dfrac{43}{108}$

(iii)$\ \ 4\ 回で終了する確率 \ P_4 \ は$

$\quad (ア)\ \ 2の目が4回 \quad (2,\ 2,\ 2,\ 2) \ \ で　 p=\dfrac{4^4}{6^4}$

$\quad (イ)\ \ 2の目が3回 \quad (2,\ 2,\ 2,\ 3), \ \ (2,\ 2,\ 3,\ 2), \ \ (2,\ 3,\ 2,\ 2), \ \ (3,\ 2,\ 2,\ 2), \ \ (2,\ 2,\ 2,\ 5)\ \ で　 p=\dfrac{4^3}{6^4} \times 5$

$\quad (ウ)\ \ 2の目が2回 \quad (2,\ 2,\ 3,\ 3), \ \ (2,\ 3,\ 2,\ 3), \ \ (3,\ 2,\ 2,\ 3), \ \ (2,\ 2,\ 3,\ 5), \ \ (3,\ 2,\ 2,\ 5), \ \ (2,\ 3,\ 2,\ 5)\ \ で　 p=\dfrac{4^2}{6^4} \times 6$

$\quad P_4= \dfrac{4^4}{6^4} + \dfrac{4^3}{6^4} \times 5 + \dfrac{4^2}{6^4} \times 6=\dfrac{672}{6^4}=\dfrac{56}{108}$

　

$右の表は、終了するまでの試行の回数 \ X\ とその確率 \ P(X)\ の$

$分布表である。したがって \ X\ の期待値 \ E(X)\ は$

$E(X)=2 \times \dfrac{9}{108}+3 \times \dfrac{43}{108}+4 \times \dfrac{56}{108}=\dfrac{371}{108}$

$なお、E(X) \fallingdotseq 3.4 \ \ である。$


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