北海道大学(理系) 2026年　問題4


$O\ を原点とする座標空間に \ 2\ 点P(1,\ 0,\ 3),\ \ Q(0,\ 2,\ 3)\ をとる。実数 \ h\ は \ h > 3\ を満たすとし、点C(0,\ 0,\ h)$
$をとる。3\ 点 \ C,\ P,\ Q\ を通る平面を \ \alpha \ とする。さらに、\alpha \ と \ x\ 軸との交点を \ A,\ \alpha \ と \ y\ 軸との交点を \ B\ とおく。$
$四面体 \ OABC\ の体積を \ V\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ A\ の \ x\ 座標を \ h\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ V\ を \ h\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ h\ が \ h > 3\ を満たす実数全体を動くとき、V\ の最小値を求めよ。$


(1)

　

$\alpha : ax+by+cz=d \ \ とおくと$

$点P(1,\ 0,\ 3)\ \ を通るから \quad a+3c=d \hspace{5em}①$

$点Q(0,\ 2,\ 3)\ \ を通るから \quad 2b+3c=d \hspace{5em}②$

$点C(0,\ 0,\ h)\ \ を通るから \quad hc=d \hspace{7em}③$

$③より \quad c=\dfrac{d}{h} $

$①に代入して \quad a=d-3c=d-\dfrac{3d}{h}=\dfrac{h-3}{h}d$

$②に代入して \quad b=\dfrac{1}{2}(d-3c)=\dfrac{h-3}{2h}d$

$よって \quad \alpha \ \ は$

$\dfrac{h-3}{h}dx+\dfrac{h-3}{2h}dy+\dfrac{1}{h}dz=d$

$2(h-3)x+(h-3)y+2z=2h$

$\alpha \ と \ x\ 軸との交点\ A\ は \ \ y=z=0 \ \ だから$

$2(h-3)x=2h \qquad \therefore \ \ x=\dfrac{h}{h-3}$


(2)


$\alpha \ と \ y\ 軸との交点\ B\ は \ \ x=z=0 \ \ だから$

$(h-3)y=2h \qquad y=\dfrac{2h}{h-3}$


$四面体 \ OABC\ の体積\ V\ は$
\begin{eqnarray*} V &=&\dfrac{1}{3} \times \triangle OAB \times OC\\ \\ &=&\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times OA \times OB \times OC\\ \\ &=&\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{h}{h-3} \times \dfrac{2h}{h-3} \times h\\ \\ &=&\dfrac{h^3}{3(h-3)^2} \end{eqnarray*}

(3)


\begin{eqnarray*} V' &=&\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3h^2(h-3)^2-h^3 \times 2(h-3)}{(h-3)^4}\\ \\ &=&\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3h^2(h-3)-2h^3}{(h-3)^3}\\ \\ &=&\dfrac{h^3-9h^2}{3(h-3)^3}\\ \\ &=&\dfrac{h^2(h-9)}{3(h-3)^2}\\ \end{eqnarray*}

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} h& 3 & \cdots & 9 & \cdots \\ \hline V' & & - & 0 & + \\ \hline V& & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$V\ は \ h=9 \ \ で極小かつ最小となり、最小値は$

$V=\dfrac{9^3}{3(9-3)^2}=\dfrac{27}{4}$

$なお V \ のグラフは右図のとおり$


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