北海道大学(理系) 2026年　問題3


$複素数平面上に原点 \ O\ を中心とする半径 \ 1\ の円 \ C\ を考える。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ C\ 上の点 \ \alpha \ は \ \ |\alpha +\overline{\alpha}|=|\alpha -\overline{\alpha}|\ \ を満たし、\alpha \ の偏角 \ \theta \ は \ \ \dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\ \ を満たすとする。\alpha \ を求めよ。$
$(2)\ \ \beta \ は虚部が正の複素数で、\beta^3=1\ \ を満たすとする。点 \ z\ が \ \beta \ を除く \ C\ 上を動くとき、w(z-\beta)=1 \ \ を$
$\quad 満たす点 \ w\ が描く図形を複素数平面上に図示せよ。$


(1)


$\alpha \ は \ C\ 上の点だから \ \ |\alpha|=1\ \ を満たし、\alpha =\cos \theta +i\sin \theta \ \ とおける。$

$\overline{\alpha}=\cos \theta -i\sin \theta \ \ だから \quad |\alpha +\overline{\alpha}|=|\alpha -\overline{\alpha}| \ \ より \quad |2\cos \theta|=|2\sin \theta|$

$|\tan \theta|=1 \quad \dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\ \ だから \quad \tan \theta < 0$

$よって \quad \tan \theta=-1 \qquad \theta=\dfrac{3}{4}\pi$

$\alpha =\cos \dfrac{3}{4}\pi +i\sin \dfrac{3}{4}\pi=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+ \dfrac{\sqrt{2}}{2}i$


(2)


$w(z-\beta)=1 \ \ より \quad z=\beta + \dfrac{1}{w}$

$z\ は \ \beta \ を除く \ C\ 上を動くから \quad |z|=1$

$|\beta + \dfrac{1}{w}|=1$

$|\beta w + 1|=|w|$

$|\beta w + 1|^2=|w|^2$

$(\beta w + 1)(\overline{\beta}\overline{w}+1)=w \overline{w}$

$|\beta|^2|w|^2 + \beta w + \overline{\beta}\overline{w}+1=|w|^2$

$ここで　\quad \beta ^3=1 \ \ より \quad |\beta|^3=1 \quad \therefore \ \ |\beta|=1 \ \ だから$

$|w|^2 + \beta w + \overline{\beta}\overline{w}+1=|w|^2$

$\beta w + \overline{\beta}\overline{w}+1=0 \hspace{5em}①$

$あらためて \quad \beta ^3-1=0 \ \ より \quad (\beta -1)(\beta ^2+\beta +1)=0$

$\beta \ の虚部は正だから \quad \beta \ne 1 $

　

$\beta ^2+\beta +1=0 \quad これを解いて \quad \beta=\dfrac{-1 \pm\sqrt{3}i}{2}$

$\beta \ の虚部は正だから \quad \beta=\dfrac{-1 +\sqrt{3}i}{2}$

$w=x+yi \ \ とおき、これらを①に代入すると$

$\big(\dfrac{-1 +\sqrt{3}i}{2}\big)(x+yi)+\big(\dfrac{-1 -\sqrt{3}i}{2}\big)(x-yi)+1=0$

$(-x-\sqrt{3}y)+i(\sqrt{3}x-y)+(-x-\sqrt{3}y)+i(-\sqrt{3}x+y)+2=0$

$x+\sqrt{3}y=1$

$点 \ w\ が描く図形は、右図の直線$


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