北海道大学(理系) 2026年　問題2


\[関数 \ f(x)\ を次によって定める。\quad f(x)=\int_0^x \big\{\sin(x-t)-\dfrac{t}{4}\big\}^2dt \qquad 次の問いに答えよ。\] \[(1)\ \ \int_0^x t\sin(x-t)dt \ \ を \ x\ の式で表せ。\] $(2)\ \ f(x) \ \ を求めよ。$
\[(3)\ \ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x^3} \ \ を求めよ。\]


(1)


$x\ と \ t\ に関数関係はないから$

\begin{eqnarray*} & &\int_0^x t\sin(x-t)dt\\ \\ &=&\big[t\cos(x-t)\big]_0^x - \int_0^x\cos(x-t)dt\\ \\ &=&x+\big[\sin(x-t)\big]_0^x\\ \\ &=&x-\sin x \end{eqnarray*}

$上の解答で問題はないが、気になるならば次のような解答が考えられます。$

$(別解 \ 1 \quad 変数変換)$
\[ x-t=u \ \ とおくと \quad -dt=du \qquad \begin{array}{c|c} t & 0\ \ \rightarrow x \\ \hline u & x\ \ \rightarrow 0 \\ \end{array} \]
\begin{eqnarray*} & &\int_0^x t\sin(x-t)dt\\ \\ &=&\int_x^0 (x-u)\sin u (-du)\\ \\ &=&\int_0^x (x-u)\sin u du\\ \\ &=&x\int_0^x \sin u du - \int_0^x u\sin u du\\ \\ &=&x\big[-\cos u\big]_0^x -\big[-u\cos u \big]_0^x -\int_0^x \cos udu\\ \\ &=&x(-\cos x +1) +x\cos x -\big[\sin u\big]_0^x\\ \\ &=&x-\sin x \end{eqnarray*}

$(別解 \ 2 \quad 加法定理で展開)$
\begin{eqnarray*} & &\int_0^x t\sin(x-t)dt\\ \\ &=&\int_x^0 t(\sin x\cos t - \cos x \sin t)dt\\ \\ &=&\sin x\int_0^xt\cos tdt -\cos x \int_0^x t\sin tdt\\ \\ & &(以下略) \end{eqnarray*}

(2)


\begin{eqnarray*} f(x) &=&\int_0^x \big\{\sin(x-t)-\dfrac{t}{4}\big\}^2dt\\ \\ &=&\int_0^x \big\{\sin^2(x-t)-\dfrac{t}{2}\sin(x-t)+\dfrac{t^2}{16}\big\}dt\\ \\ &=&\int_0^x \big\{\dfrac{1}{2}\big(1-\cos 2(x-t)\big)-\dfrac{t}{2}\sin(x-t)+\dfrac{t^2}{16}\big\}dt\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}\int_0^x \cos 2(x-t) dt -\dfrac{1}{2}\int_0^x t\sin(x-t)dt+ \int_0^x\big(\dfrac{t^2}{16}+\dfrac{1}{2}\big)dt\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\big[\dfrac{1}{2} \sin 2(x-t)\big]_0^x -\dfrac{1}{2}(x-\sin x) + \big[\dfrac{t^3}{48}+\dfrac{t}{2}\big]_0^x \hspace{5em}(第2項の積分は(2)より)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{1}{2}(x-\sin x) + \dfrac{x^3}{48}+\dfrac{x}{2}\\ \\ &=&-\dfrac{1}{4}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{x^3}{48} \end{eqnarray*}

(3)


\begin{eqnarray*} & &f(x)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{4}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{x^3}{48}\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}\sin x \cos x + \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{x^3}{48}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\sin x (1-\cos x) + \dfrac{x^3}{48}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\sin x \big(1-(1-2\sin^2 \dfrac{x}{2})\big) + \dfrac{x^3}{48}\\ \\ &=&\sin x \ \sin^2 \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^3}{48}\\ \end{eqnarray*}
$よって$
\begin{eqnarray*} & &\dfrac{f(x)}{x^3}\\ \\ &=&\dfrac{\sin x \ \sin^2 \dfrac{x}{2}}{x^3} + \dfrac{1}{48}\\ \\ &=&\dfrac{\sin x}{x} \times \big(\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{x} \big)^2 + \dfrac{1}{48}\\ \\ &=&\dfrac{\sin x}{x} \times \dfrac{1}{4}\big(\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}\big)^2 + \dfrac{1}{48}\\ \\ \end{eqnarray*} \[\therefore \ \ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x^3}= 1 \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{48}=\dfrac{13}{48}\]

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