北海道大学(理系) 2026年　問題1


$数列\ \{a_n\}\ は次の条件を満たすとする。 \quad a_1=-8,\quad a_{n+1}(a_n+1)=2 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ) $
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_n \ne -2 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ を示せ。$
$(2)\ \ b_n=\dfrac{1}{a_n+2} \ \ とおく。b_{n+1}\ を \ b_n \ で表せ。$
$(3)\ \ \{a_n\} \ の一般項を求めよ。$


(1)


$a_{n+1}(a_n+1)=2 \ \ において、a_n+1=0 \ \ とすると 左辺=0\ となり、右辺=2\ に不合理だから \ \ a_n +1 \ne 0$

$a_{n+1}=\dfrac{2}{a_n+1}$

$a_2=\dfrac{2}{a_1+1}=\dfrac{2}{-8+1}=-\dfrac{2}{7}$

$a_3=\dfrac{2}{a_2+1}=\dfrac{2}{-\dfrac{2}{7}+1}=\dfrac{14}{5}$

$n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots \ \ のとき \ \ a_n > 0\ \ であることを数学的帰納法で証明する。$

(i)$\ \ n=3 \ \ のとき成りたつ$

(ii)$\ \ n=k\ \ (k=3,\ 4,\ 5,\ \cdots \ \ のとき) \ \ 成りたつとすると \quad a_k > 0$

$このとき \quad a_{k+1}=\dfrac{2}{a_k+1} > 0$

$よって \ \ n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots \ \ のすべての自然数 \ n\ について \quad a_n > 0 $

$a_1=-8,\quad a_2=-\dfrac{2}{7},\quad a_n > 0\ \ ( n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \ \ だから \quad a_n \ne -2 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )$


(2)


$b_n=\dfrac{1}{a_n+2} \ \ より \quad a_n=\dfrac{1}{b_n}-2$

$a_{n+1}(a_n+1)=2 \quad に代入して$

$\big(\dfrac{1}{b_{n+1}}-2\big)\big(\dfrac{1}{b_n}-1\big)=2$

$\big(\dfrac{1}{b_{n+1}}-2\big) \times \dfrac{1-b_n}{b_n}=2$

$\dfrac{1}{b_{n+1}}-2=\dfrac{2b_n}{1-b_n}$

$\dfrac{1}{b_{n+1}}=\dfrac{2b_n}{1-b_n}+2=\dfrac{2}{1-b_n}$

$b_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1-b_n )$

$\therefore \ \ b_{n+1}=-\dfrac{1}{2}b_n + \dfrac{1}{2}$

$ただし \quad b_1=\dfrac{1}{a_1+2}=-\dfrac{1}{6}$


(3)


$b_{n+1}=-\dfrac{1}{2}b_n + \dfrac{1}{2} \ \ の特性方程式は$

$t=-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2} \quad これを解いて \quad t=\dfrac{1}{3}$

$辺々引いて$

$b_{n+1}- \dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\big(b_n - \dfrac{1}{3}\big)$

\begin{eqnarray*} b_n- \dfrac{1}{3} &=&\big(b_1- \dfrac{1}{3}\big)\big(-\dfrac{1}{2}\big)^{n-1}\\ \\ &=&\big(-\dfrac{1}{6}- \dfrac{1}{3}\big)\big(-\dfrac{1}{2}\big)^{n-1}\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}\big(-\dfrac{1}{2}\big)^{n-1}\\ \\ &=&\big(-\dfrac{1}{2}\big)^n\\ \end{eqnarray*}
$\therefore b_n=\dfrac{1}{3}+\big(-\dfrac{1}{2}\big)^n$


(3)


$(2) より \quad b_n=\dfrac{1}{3}+\big(-\dfrac{1}{2}\big)^n$

$a_n+2=\dfrac{1}{b_n}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}+\big(-\dfrac{1}{2}\big)^n}=\dfrac{3}{1+3\big(-\dfrac{1}{2}\big)^n}=\dfrac{3\cdot 2^n}{2^n+3(-1)^n}$

$\therefore \ \ a_n=\dfrac{3\cdot 2^n}{2^n+3(-1)^n}-2=\dfrac{2^n-6(-1)^n}{2^n+3(-1)^n}$


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