北海道大学(理系) 2025年 問題3
\[実数 \ a\ および自然数 \ n\ に対して、定積分 \ \ I(a,n)=\int_0^{2\pi} e^{ax} \sin(nx)dx \ \ を考える。ここで、e\ は自然対数の\]
$底である。$
$(1)\ \ I(a,\ n)\ \ を求めよ。$
\[(2)\ \ a_n=\dfrac{\log n}{2\pi}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ のとき、極限 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} I(a_n,\ n)\ \ を求めよ。ただし、\log n \ は \ n\ の自然対数で\]
\[\quad ある。また、必要ならば \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\log n}{n}=0\ \ であることを用いてもよい。\]
(1)
\[I(a,n)=\int_0^{2\pi} e^{ax} \sin(nx)dx \ \ の部分積分法を \ 2\ 回行う。\] \begin{eqnarray*} I(a,n) &=&\big[\dfrac{1}{a}e^{ax} \sin(nx) \big]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{a}e^{ax} \cdot n\cos(nx)dx \\ \\ &=&- \dfrac{n}{a} \int_0^{2\pi} e^{ax} \cos(nx)dx \\ \\ &=&-\dfrac{n}{a}\big\{\big[\dfrac{1}{a}e^{ax} \cos(nx) \big]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{a}e^{ax} \cdot (-n)\sin(nx)dx \big\}\\ \\ &=&-\dfrac{n}{a}\big\{\dfrac{e^{2\pi a}}{a} -\dfrac{1}{a} + \dfrac{n}{a} \int_0^{2\pi} e^{ax} \sin(nx)dx \big\}\\ \\ &=&\dfrac{n}{a^2}(1-e^{2\pi a})-\dfrac{n^2}{a^2}I(a,n) \end{eqnarray*}
$(1+\dfrac{n^2}{a^2})I(a,n)=\dfrac{n}{a^2}(1-e^{2\pi a})$
$\therefore \ \ I(a,n)=\dfrac{a^2}{a^2+n^2} \times \dfrac{n}{a^2}(1-e^{2\pi a})=\dfrac{n}{a^2+n^2}(1-e^{2\pi a})$
(2)
\begin{eqnarray*} I(a_n,n) &=&\dfrac{n}{a_n^2+n^2}(1-e^{2\pi a_n})\\ \\ &=&\dfrac{n}{\big(\dfrac{\log n}{2\pi}\big)^2 +n^2}(1-e^{2\pi \times \scriptsize{\dfrac{\log n}{2\pi}}})\\ \\ &=&\dfrac{4\pi ^2 n}{(\log n)^2 + 4\pi^2 n^2}(1-e^{\log n})\\ \\ &=&\dfrac{4\pi ^2 n(1-n)}{(\log n)^2 + 4\pi^2 n^2} \hspace{5em}(分母・分子をn^2で割る)\\ \\ &=&\dfrac{4\pi ^2 (\dfrac{1}{n}-1)}{\big(\dfrac{\log n}{n}\big)^2 + 4\pi^2 }\\ \end{eqnarray*}
$n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad \dfrac{\log n}{n} \longrightarrow 0 \quad だから \quad （この証明については($不定形の極限値(1)$)をご覧ください。）$
\[\lim_{n \rightarrow \infty} I(a_n,\ n)=\dfrac{-4\pi ^2}{4\pi ^2}=-1\]
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