北海道大学(理系) 2025年 問題1
$\alpha ,\ r\ を \ \alpha > 1 ,\ r > 1\ を満たす実数とする。数列 \ \{a_n\}\ を \ a_1=\alpha \ で公比が \ r\ の等比数列とする。数列 \ \{b_n\}\ を$
$b_n=\log _{a_n}(a_{n+1})\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ \ で定める。$
$(1)\ \ b_n \ を \ n\ と \ \ \log _{\alpha} r \ \ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 等式 \ \ b_n=\dfrac{n+2}{n+1} \ \ がすべての自然数 \ n\ について成り立つための必要十分条件を \ n\ と \ \alpha \ を用いて表せ。$
$(3)\ \ (2)の条件が成り立つとき、積 \ a_1a_2,\ \ a_1a_2a_3,\ \ a_1a_2a_3a_4 \ \ の整数部分がそれぞれ \ 2\ 桁、3\ 桁、4\ 桁になる$
$\quad ような \ \alpha \ の範囲を求めよ。$
(1)
$a_n=\alpha r^{n-1} \quad だから$
\begin{eqnarray*} b_n &=&\log _{a_n}(a_{n+1})\\ \\ &=&\dfrac{\log_{\alpha} a_{n+1}}{\log _{\alpha} a_n}\\ \\ &=&\dfrac{\log_{\alpha} \alpha r^n}{\log _{\alpha} \alpha r^{n-1}}\\ \\ &=&\dfrac{\log_{\alpha} \alpha + \log_{\alpha} r^n}{\log _{\alpha} \alpha + \log_{\alpha} r^{n-1}}\\ \\ &=&\dfrac{1 + n\log_{\alpha} r}{1+ (n-1)\log_{\alpha} r}\\ \end{eqnarray*}
(2)
$(必要条件)$
$b_n=\dfrac{1 + n\log_{\alpha} r}{1+ (n-1)\log_{\alpha} r}=\dfrac{n+2}{n+1} \ \ がすべての自然数 \ n\ について成り立つならば$
$n=1\ のときも成り立つから$
$1+ \log_{\alpha} r=\dfrac{3}{2}$
$\log_{\alpha} r=\dfrac{1}{2}$
$(十分条件)$
$\log_{\alpha} r=\dfrac{1}{2} \ \ が成り立つならば$
$\dfrac{1 + n\log_{\alpha} r}{1+ (n-1)\log_{\alpha} r}=\cfrac{1+\dfrac{n}{2}}{1+\dfrac{n-1}{2}}=\dfrac{n+2}{n+1}$
$よって、必要十分条件は$
$\log_{\alpha} r=\dfrac{1}{2} \quad すなわち \quad r=\alpha ^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{\alpha}$
$(別解)\quad 等式変形して求める方法$
$b_n=\dfrac{1 + n\log_{\alpha} r}{1+ (n-1)\log_{\alpha} r}=\dfrac{n+2}{n+1} \quad より$
$(n+1)(1 + n\log_{\alpha} r)=(n+2)(1+ (n-1)\log_{\alpha} r)$
$n+1+ n(n+1)\log_{\alpha} r=n+2+ (n-1)(n+2)\log_{\alpha} r$
$\big\{(n(n+1)- (n-1)(n+2)\big\}\log_{\alpha} r=1$
$2\log_{\alpha} r=1$
$\log_{\alpha} r=\dfrac{1}{2}$
$\therefore \ \ r=\alpha ^{\scriptsize{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{\alpha}$
(3)
$a_1a_2=\alpha \times \alpha r=\alpha ^2 r =\alpha^2 \sqrt{\alpha}=\alpha ^{\scriptsize{\dfrac{5}{2}}}$
$a_1a_2a_3=\alpha ^2 r \times \alpha r^2 =\alpha ^3 r^3 =\alpha^3 \times \alpha \sqrt{\alpha}=\alpha ^{\scriptsize{\dfrac{9}{2}}}$
$a_1a_2a_3a_4=\alpha ^3 r ^3 \times \alpha r^3=\alpha ^4 r^6 =\alpha^4 \times \alpha ^3=\alpha ^7$
$a_1a_2,\ a_1a_2a_3,\ \ a_1a_2a_3a_4 \ \ の整数部分がそれぞれ \ 2\ 桁、3\ 桁、4\ 桁だからそれぞれの常用対数をとって$
$1 \leqq \log a_1a_2 < 2 \quad より \quad 1 \leqq \dfrac{5}{2}\log \alpha < 2 \qquad \dfrac{2}{5} \leqq \log \alpha < \dfrac{4}{5}$
$2 \leqq \log a_1a_2a_3 < 3 \quad より \quad 2 \leqq \dfrac{9}{2}\log \alpha < 3 \qquad \dfrac{4}{9} \leqq \log \alpha < \dfrac{2}{3}$
$3 \leqq \log a_1a_2a_3a_4 < 4 \quad より \quad 3 \leqq 7 \log \alpha < 4 \qquad \dfrac{3}{7} \leqq \log \alpha < \dfrac{4}{7}$
$\dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{7} < \dfrac{4}{9} ,\qquad \dfrac{4}{7} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{4}{5} \quad だからこれらを同時に満たす \ \ \log \alpha \ \ は$
$\dfrac{4}{9} \leqq \log \alpha < \dfrac{4}{7}$
$よって \quad 10^{\scriptsize{\dfrac{4}{9}}} \leqq \alpha < 10^{\scriptsize{\dfrac{4}{7}}}$
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