北海道大学(理系) 2024年 問題3
$次の問に答えよ。$
$(1)\ \ \alpha \ を実数とする。次のように定められた数列 \ \{a_n\}\ の一般項を求めよ。$
$\hspace{5em} a_1=\alpha \qquad a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+1 \ \ (n=1, \ 2,\ 3,\ \cdots )$
$(2)\ \ 関数 \ f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x),\ \cdots \ \ を次の関係式で定める。$
\[\qquad f_1(x)=3x \qquad f_{n+1}=(n+2)x^{n+1} + \Big(\int_0^1 f_n(t)dt \Big)x \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\]
$\quad 関数 \ f_n(x)\ を \ x\ と \ n\ の式で表せ。$
(1)
$ a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+1 \quad の特性方程式$
$t=\dfrac{1}{2}t +1 \quad の解は \quad t=2 \qquad 辺々引いて$
$a_{n+1}-2=\cfrac{1}{2}(a_n -2)$
${a_n-2} \ \ は \ 初項 \ \ a_1-2=\alpha -2 , \ \ 公比 \ \ \cfrac{1}{2}\ \ の等比数列だから$
$a_n-2=(\alpha -2)\big(\dfrac{1}{2}\big)^{n-1}$
$a_n= 2+ (\alpha -2)\big(\dfrac{1}{2}\big)^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )$
(2)
\[f_{n+1}=(n+2)x^{n+1} + \Big(\int_0^1 f_n(t)dt \Big)\ x \quad において\]
\[I_n=\int_0^1 f_n(t)dt \quad とおくと \quad f_{n+1}=(n+2)x^{n+1} + I_n \ x \]
\begin{eqnarray*} I_{n+1} &=&\int_0^1 f_{n+1}(t)dt\\ \\ &=&\int_0^1 \big\{(n+2)t^{n+1} + I_n t \big\}dt \\ \\ &=&\big[t^{n+2}+\cfrac{1}{2}I_n t^2\big]_0^1\\ \\ &=&1+\cfrac{1}{2}I_n \end{eqnarray*} \[ただし \quad I_1=\int_0^1f_1(t)dt=\int_0^13tdt=\big[\cfrac{3}{2}t^2\big]_0^1=\cfrac{3}{2}\]
$この漸化式は(1)で \ \ \alpha=\cfrac{3}{2}, \quad I_n=a_n \ \ と置いたものだから$
$I_n=2+(\cfrac{3}{2}-2)\big(\dfrac{1}{2}\big)^{n-1}=2-\big(\dfrac{1}{2}\big)^n$
$よって$
$f_n(x)=(n+1)x^n + I_{n-1} \ x =(n+1)x^n+\big\{2-\big(\dfrac{1}{2}\big)^{n-1}\big\}\ x$
$n=1 \ \ のとき$
$\quad 左辺=f_1(x)=3x$
$\quad 右辺=(1+1)x+\big\{2-\big(\dfrac{1}{2}\big)^0\big\}\ x=3x$
$したがって \quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \quad について \quad f_n(x)=(n+1)x^n+\big\{2-\big(\dfrac{1}{2}\big)^{n-1}\big\}\ x$
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