一橋大学 2025年 問題1
$正の整数 \ n\ に対し、n\ の正の約数の個数を \ d(n)\ とする。たとえば、6\ の正の約数は \ 1,\ 2,\ 3,\ 6\ の \ 4\ 個$
$なので \ \ d(6)=4\ \ である。また、f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt{n}}\ \ とする。$
$(1)\ \ f(2025)\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ 素数 \ p\ と正の整数 \ k\ の組で \ \ f(p^k) \leqq f(p^{k+1})\ \ を満たすものを求めよ。$
$(3)\ \ f(n)\ の最大値と、そのときの \ n\ を求めよ。$
(1)
$2025=3^4 \times 5^2 \ \ の正の約数は \ \ 3^a \times 15^b \ \ の形の数で、a=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 ,\quad b=0,\ 1,\ 2\quad だから$
$約数の個数は \quad d(2025)=5 \times 3$
$f(2025)=\dfrac{d(2025)}{\sqrt{2025}}=\dfrac{5 \times 3}{\sqrt{3^4 \times 5^2}}=\dfrac{5 \times 3}{3^2 \times 5}=\dfrac{1}{3}$
(2)
$p\ は素数だから \ \ p^k \ \ の約数は \quad p^0,\ p^1,\ p^2,\ \cdots , \ p^k \ の \ (k+1)\ 個ある。$
$よって \quad d(p^k)=k+1,\quad 同様に \quad d(p^{k+1})=k+2$
$f(p^k) \leqq f(p^{k+1})\ \ より$
$\dfrac{d(p^k)}{\sqrt{p^k}} \leqq \dfrac{d(p^{k+1})}{\sqrt{p^{k+1}}}$
$k+1 \leqq \dfrac{k+2}{\sqrt{p}}$
\begin{eqnarray*} p &\leqq& \big(\dfrac{k+2}{k+1}\big)^2\\ \\ &=&\big(1+\dfrac{1}{k+1}\big)^2\\ \\ &=&1+\dfrac{2}{k+1}+ \big(\dfrac{1}{k+1}\big)^2\\ \\ &\leqq&1+1+ \dfrac{1}{4}\\ \end{eqnarray*}
$これを満たす素数 \ p\ は \quad p=2$
$このとき \quad 2 \leqq \big(\dfrac{k+2}{k+1}\big)^2 \quad より \quad 2(k+1)^2 \leqq (k+2)^2$
$k^2 \leqq 2 \qquad k\ は正の整数だから \quad k=1$
$したがって \quad p=2,\quad k=1$
(3)
$f(n) の性質$
$(Ⅰ)\ \ (2)より \quad f(2) < f(2^2), これ以外は \quad f(p^k) > f(p^{k+1})$
$\quad f(2)=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, \quad f(2^2)=\dfrac{3}{\sqrt{2^2}}=\dfrac{3}{2} \quad で確かに \quad f(2) < f(2^2)$
$\quad したがって \quad f(2) < f(2^2) > f(2^3) > f(2^4)> \cdots $
$(Ⅱ)\ \ 素数 \ p,\ q \ \ (p < q) \ \ に対して \quad f(p)=\dfrac{2}{\sqrt{p}},\quad f(q)=\dfrac{2}{\sqrt{q}} \quad だから \quad f(p) > f(q)$
$\quad したがって \quad f(2) > f(3) > f(5) > \cdots $
$\quad また \quad f(3)=\dfrac{2}{\sqrt{3}} > 1 ,\quad f(5)=\dfrac{2}{\sqrt{5}} < 1 \quad より \quad p=5,\ 7,\ \cdots のとき \quad f(p) <1$
$(Ⅲ)\ \ f(n)\ の乗法性$
$\quad 素数 \ p, \ q\ \ (p < q ),\ \ 正の整数 \ k,\ \ \ell \ \ に対して$
$\quad f(p^kq^{\ell})=\dfrac{(k+1)(\ell+1)}{\sqrt{p^kq^{\ell}}}=\dfrac{k+1}{\sqrt{p^k}} \times \dfrac{\ell +1}{\sqrt{q^{\ell}}}=f(p^k)f(q^{\ell})$
$一般に、整数\ n\ を素因数分解して \quad n=2^{k_1}\ 3^{k_2}\ p_3^{k_3}\cdots p_m^{k_m} \ \ (3 < p_3 < \cdots < p_m )\ \ と表わしたとき$
\begin{eqnarray*} f(n) &=&f(2^{k_1}3^{k_2} p_3^{k_3}\cdots p_m^{k_m})\\ \\ &=&f(2^{k_1})f(3^{k_2})f( p_3^{k_3}) \cdots f(p_m^{k_m}) \hspace{3em}(性質Ⅲ)\\ \\ &\leqq &f(2^{k_1})f(3^{k_2}) \hspace{10em}(性質Ⅱ)\\ \\ &\leqq &f(2^2)f(3) \hspace{10em}(性質Ⅰ)\\ \\ &=&\dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}}\\ \\ &=&\sqrt{3} \end{eqnarray*} $よって \quad n=2^2 \times 3=12 \ \ のとき \ f(n)\ は最大値 \ \ \sqrt{3}\ \ をとる$
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