広島大学(理系) 2025年 問題4
$n\ を自然数とする。(3n+1)\ 個の箱 \ A_1,\ A_2,\ \cdots ,\ A_{3n+1} \ があり、1\ から \ 3n+1\ までの各自然数 \ k\ に対して、$
$k\ 番目の箱 \ A_k \ には、1\ から \ k\ までの整数が一つずつ書かれた \ k\ 枚のカードが入っている。これを初期状態$
$とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 箱\ A_{3n+1}\ に入っているすべてのカードに書かれた整数の平均値 \ L\ を \ n\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 箱 \ A_1,\ A_2,\ \cdots ,\ A_{3n+1}\ に入っているすべてのカードに書かれた整数の平均値 \ M\ を \ n\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ 初期状態から、箱 \ A_1,\ A_2,\ \cdots ,\ A_{3n+1}\ に入っているすべてのカードを箱 \ B\ に移す。箱 \ B\ から \ 1\ 枚の$
$\quad カードを取り出すとき、カードに書かれた整数が(2)で求めた値 \ M\ に等しくなる確率を \ P(n)\ とする。$
$\quad P(n) \ を \ n\ を用いて表せ。$
$(4)\ \ M\ を(2)で求めた値とする。初期状態から、箱 \ A_M,\ A_{M+1},\ \cdots ,\ A_{3n+1}\ だけ集めて、ケース \ C\ に収納$
$\quad する。ケース \ C\ から一つの箱を選び、さらにその箱から \ 1\ 枚のカードを取り出す。カードに書かれた$
$\quad 整数が \ M\ に等しいとき、そのカードが箱 \ A_{3n+1}\ から取り出されている条件付き確率を \ Q(n)\ とする。$
\[\quad \lim_{n \rightarrow \infty} nQ(n) \ \ を求めよ。\]
(1)
$箱\ A_{3n+1}\ に入っている、1\ から \ 3n+1\ までの自然数が書かれた \ 3n+1 \ 枚のカードの和は$
\[\sum_{k=1}^{3n+1} k=\cfrac{1}{2}(3n+1)(3n+2) \quad だから\] $L=\cfrac{\dfrac{1}{2}(3n+1)(3n+2)}{3n+1}=\cfrac{3n+2}{2}$
(2)
\[箱 \ A_k\ に入っているカードに書かれた整数の和は \quad \sum_{l=1}^k l=\cfrac{k(k+1)}{2} \] $よって、すべての箱に入っているカードに書かれた整数の和は$
\begin{eqnarray*} & &\sum_{k=1}^{3n+1}\cfrac{k(k+1)}{2}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{3n+1}k^2+ \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{3n+1}k\\ \\ &=&\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6}((3n+1)(3n+2)\big\{(2(3n+1)+1\big\}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}(3n+1)(3n+2)\\ \\ &=&\dfrac{1}{12}(3n+1)(3n+2)\big\{(6n+3)+3\big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}(3n+1)(3n+2)(n+1)\\ \end{eqnarray*}
$すべての箱に入っているカードの総数は$
\[\sum_{k=1}^{3n+1} k=\cfrac{1}{2}(3n+1)(3n+2) \ \ だから\] $M=\cfrac{\dfrac{1}{2}(3n+1)(3n+2)(n+1)}{\cfrac{1}{2}(3n+1)(3n+2)}=n+1$
(3)
$(2) より \ \ M=n+1 \ \ だから自然数 \ n+1\ が書かれたカードが入っている箱は \ \ A_{n+1},\ A_{n+2},\ \cdots ,\ A_{3n+1} \ \ の$
$(3n+1)-(n+1)+1=2n+1 \ \ 個ある。$
$箱Bに入っているカードの総数は(2)より \quad \cfrac{1}{2}(3n+1)(3n+2) \ \ だから$
$p(n)=\cfrac{2n+1}{\cfrac{1}{2}(3n+1)(3n+2)}=\cfrac{2(2n+1)}{(3n+1)(3n+2)}$
(4)
$M=n+1 \ \ だから、ケース \ C\ に収納される箱は \ \ A_{n+1},\ A_{n+2},\ \cdots , \ A_{3n+1}\ \ である。$
$この \ (2n+1)\ 個の箱から箱 \ A_i\ が選ばれる確率 \ P(A_i)\ は、どの箱も同様に確からしい割合、$
$すなわち \ \ \dfrac{1}{2n+1}\ \ で選ばれるとすると \quad P(A_i)=\cfrac{1}{2n+1} \ \ である。$
$選んだ箱 \ A_i\ には \ 1 \ から \ i\ までの \ i\ 枚のカードが入っているから、この中から \ 1\ 枚のカードを取り出したとき、$
$自然数 \ M\ が書かれたカードである条件付き確率 \ \ P_{A_i}(M)\ \ は \quad P_{A_i}(M)=\dfrac{1}{i} $
$したがって、取り出されたカードに書かれた整数が \ M\ である確率 \ P(M)\ は$
\begin{eqnarray*} P(M) &=&\sum_{i=n+1}^{3n+1} P(A_i)P_{A_i}(M) \hspace{5em}(これを全確率の定理といいます)\\ \\ &=&\sum_{i=n+1}^{3n+1} \dfrac{1}{2n+1} \times \dfrac{1}{i} \\ \\ &=&\dfrac{1}{2n+1} \sum_{i=n+1}^{3n+1} \dfrac{1}{i}\\ \\ \end{eqnarray*} $取り出されたカードに書かれた整数が \ M\ だったとき、そのカードが箱 \ A_{3n+1}\ から取り出された$
$条件付き確率\ Q(n)\ (これを原因の確率といいます)\ は$
\begin{eqnarray*} Q(n) &=&P_M(A_{3n+1})\\ \\ &=&\cfrac{P(M \cap A_{3n+1})}{P(M)}\\ \\ &=&\cfrac{P(A_{3n+1}) P_{A_{3n+1}}(M)}{P(M)}\\ \\ &=&\cfrac{\dfrac{1}{2n+1} \times \dfrac{1}{3n+1}}{\dfrac{1}{2n+1} \sum_{i=n+1}^{3n+1} \dfrac{1}{i}}\\ \\ &=&\cfrac{1}{(3n+1)\sum_{i=n+1}^{3n+1} \dfrac{1}{i}}\\ \end{eqnarray*} $したがって$
\begin{eqnarray*} nQ(n) &=&\cfrac{n}{(3n+1)\sum_{i=n+1}^{3n+1} \dfrac{1}{i}}\\ \\ &=&\cfrac{n}{3n+1} \times \cfrac{1}{\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots + \dfrac{1}{3n+1}}\\ \\ &=&\cfrac{n}{3n+1} \times \cfrac{1}{\dfrac{1}{n(1+\dfrac{1}{n})}+ \cdots + \dfrac{1}{n(1+\dfrac{n}{n})}+ \dfrac{1}{n(2+\dfrac{1}{n})}+ \cdots + \dfrac{1}{n(2+\dfrac{n}{n})}+ \dfrac{1}{3n+1} }\\ \\ &=&\cfrac{n}{3n+1} \times \cfrac{1}{\dfrac{1}{n}\big(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}+ \cdots + \dfrac{1}{1+\dfrac{n}{n}}\big) + \dfrac{1}{n}\big(\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{n}}+ \cdots + \dfrac{1}{2+\dfrac{n}{n}}\big) + \dfrac{1}{3n+1} }\\ \end{eqnarray*} $よって$
\begin{eqnarray*} & &\lim_{n \rightarrow \infty} nQ(n)\\ \\ &=&\cfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{\int_0^1\dfrac{dx}{1+x} + \int_0^1\dfrac{dx}{2+x}+0}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{\big[\log(1+x)\big]_0^1 + \big[\log(2+x)\big]_0^1}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{\log 2+\log 3 -\log 2}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3\log 3} \end{eqnarray*}
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