広島大学(理系) 2018年　問題3


$次の問いに答えよ。$
$\qquad (1)\ \ すべての実数 \ t\ に対し、1+t \leqq e^t \quad が成り立つことを示せ。$
\[(2)\ \ 定積分 \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1}{1+\sin x} dx \ \ の値を求めよ。\] \[(3)\ \ 次の不等式を示せ。 \quad \cfrac{\pi}{4} -1 +\cfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} e^{-\sin x} dx \leqq 2-\sqrt{2}\]


$(解説)$

$(1)\ \ 教科書の例題によくある問題です。$
$(2)\ \ 被積分関数をうまく変形して求めます。$
$(3)\ \ (1)が2度つかわれますが、右辺の値で(2)がつかわれます。$


(1)


$\quad f(t)=e^t -(1+t) \quad とおくと \quad f'(t)=e^t-1$

$\quad f'(t)=0 \quad より \quad t=0$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline t& \cdots & 0 & \cdots \\ \hline f'(t)& - & 0 & + \\ \hline f(t)& \searrow & 極小 & \nearrow \\ \hline \end{array} \] $\quad t=0 \quad で極小かつ最小$

$\quad よって \quad f(t) \geqq f(0)=0 \qquad \therefore \ \ 1+t \leqq e^t$


(2)

\begin{eqnarray*} I &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1}{1+\sin x} dx\\ \\ &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1-\sin x}{1-\sin ^2x} dx\\ \\ &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1-\sin x}{\cos ^2x} dx\\ \\ &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \cfrac{dx}{\cos ^2x}- \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \cfrac{\sin x}{\cos ^2x} dx\\ \end{eqnarray*} $\qquad 第1項=\big[\tan x \big] _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}=1$
\[第2項は \quad \cos x=t \quad とおくと \quad -\sin x dx=dt \qquad \begin{array}{c|c} x & \ 0\ \ \rightarrow \small{\cfrac{\pi}{4}} \quad \\ \hline t & \ 1 \rightarrow \small{\cfrac{1}{\sqrt{2}}} \\ \end{array} \]
\[第2項=\int _1^{\small{\cfrac{1}{\sqrt{2}}}} \cfrac{(-dt)}{t^2}= \big[\cfrac{1}{\ t\ }\big]_1^{\small{\cfrac{1}{\sqrt{2}}}}= \sqrt{2}-1\]
$\qquad \therefore \ \ I=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$


(3)


(i)$\ \ 左辺の証明$

$\quad (1)より \quad 1+t \leqq e^t \quad だから \quad t \longrightarrow -\sin x \quad とおくと \quad 1-\sin x \leqq e^{-\sin x} $

\[よって \quad \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} (1-\sin x)dx \leqq \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} e^{-\sin x}dx\]
$\quad 左辺=\big[x+\cos x\big] _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}=\cfrac{\pi}{4}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}-1 $

\[\therefore \ \ \cfrac{\pi}{4}-1+\cfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} e^{-\sin x}dx\]

(ii)$\ \ 右辺の証明$

$\quad 1+t \leqq e^t \quad より \quad 　t > -1 \quad ならば \quad \cfrac{1}{1+t} \geqq e^{-t}$

$\quad t=\sin x \quad とおくと \quad \cfrac{1}{1+\sin x} \geqq e^{-\sin x}$

\[よって \quad \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1}{1+\sin x}dx \geqq \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} e^{-\sin x}dx\]
\[(2)より \quad 左辺=2-\sqrt{2} \quad だから \quad \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} e^{-\sin x} dx \leqq 2-\sqrt{2}\]
(i),(ii)$\ \ より$

\[\cfrac{\pi}{4} -1 +\cfrac{\sqrt{2}}{2} \leqq \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} e^{-\sin x} dx \leqq 2-\sqrt{2}\]

$\quad なお、実際は等号は成りたちませんので注意してください。$


$(参考)$

$\qquad \cfrac{\pi}{4} -1 +\cfrac{\sqrt{2}}{2} =0.4925, \qquad 2-\sqrt{2}=0.5858 \quad ですので$
\[ 0.4925 < \int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} e^{-\sin x} dx < 0.5858 \quad ですが\]
$\quad エクセルでシンプソンの公式を用いて計算すると$
\[\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} e^{-\sin x} dx = 0.55261 \quad でした。\]


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