浜松医科大学 2024年 問題2
$以下の問いに答えよ。なお、{}_nC_r \ は二項係数を表す。$
$(1)\ \ A\ さんと \ B\ さんが将棋の対局をくり返し行い、先に \ 3\ 回勝った方が優勝するものとする。A\ さんが$
$\quad B\ さんに \ 1\ 回のの対局で勝つ確率は \ p\ であるとする。また各対局において引き分けはないものとする。$
$\quad このとき、A\ さんが優勝する確率を \ p\ の式として表せ。$
$(2)\ \ (1)において \ p=0.75\ であるときに、A\ さんが優勝する確率を、小数第 \ 3\ 位を四捨五入して小数第 \ 2\ 位$
$\quad まで求めよ。$
$(3)\ \ (1)において「先に \ 3\ 回」を「先に \ N\ 回\ \ (N\ は \ 2\ 以上の自然数)\ にしたときの \ A\ さんが優勝する確率を$
$\quad p\ と \ N\ の式として表せ。必要ならば和の記号Σや二項係数 \ {}_nC_r \ を用いてよい。$
\[(4)\ \ すべての自然数 \ m\ について \ \ \sum_{k=1}^m \dfrac{{}_{m+k}C_k}{2^k}=2^m-1 \ \ であることを証明せよ。\]
(1)
(i)$\ \ 3\ 勝 \ 0\ 敗で優勝する確率 \quad p^3$
(ii)$\ \ 3\ 勝 \ 1\ 敗で優勝する確率は$
$\quad 初めの \ 3\ 回で \ 2\ 勝 \ 1\ 敗し、4\ 回目に勝つ場合だから \quad {}_3C_2p^2(1-p) \times p=3p^3(1-p)$
(iii)$\ \ 3\ 勝 \ 2\ 敗で優勝する確率は$
$\quad 初めの4回で \ 2\ 勝 \ 2\ 敗し、5\ 回目に勝つ場合だから \quad {}_4C_2p^2(1-p)^2 \times p=6p^3(1-p)^2$
(i) から(iii)$は互いに排反だから \ A\ さんが優勝する確率 \ p_3\ は$
$p_3=p^3+3p^3(1-p)+6p^3(1-p)^2=p^3(6p^2-15p+10)$
(2)
$p=0.75=\cfrac{3}{4} \quad だから$
$p_3=(\dfrac{3}{4})^3(6 \times (\dfrac{3}{4})^2 -15 \times \dfrac{3}{4} +10)=\cfrac{459}{512}=0.90$
(3)
$A\ さんが、初めの \ (N-1+k)\ 回 \ \ (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots , \ N-1)\ \ で \ (N-1)\ 勝 \ k\ 敗し、$
$(N+k)\ 回目に勝って優勝する確率は$
$\quad {}_{N-1+k}C_{N-1}p^{N-1}(1-p)^k \times p=p^N {}_{N-1+k}C_{N-1}(1-p)^k$
$したがってA\ さんが優勝する確率 \ P_A\ は$
\[P_A=\sum_{k=0}^{N-1} p^N \ {}_{N-1+k}C_{N-1}(1-p)^k=p^N \sum_{k=0}^{N-1} \ {}_{N-1+k}C_k(1-p)^k\]
(4)
$この対局において、p=\cfrac{1}{2} \ \ とすると、A\ さんが優勝する確率 \ P_A\ と \ B\ さんが優勝する確率 \ P_Bは等しい。$
$P_A+P_B=1 \ \ だから \quad P_A=\cfrac{1}{2}, \qquad N-1=m \quad とおくと$
\[(\dfrac{1}{2})^{m+1} \sum_{k=0}^m \ {}_{m+k}C_k(\dfrac{1}{2})^k=\cfrac{1}{2}\] \[\dfrac{1}{2^{m+1}} \sum_{k=0}^m \dfrac{{}_{m+k}C_k}{2^k}=\cfrac{1}{2}\] \[\dfrac{1}{2^{m+1}}(1+ \sum_{k=1}^m \dfrac{{}_{m+k}C_k}{2^k})=\cfrac{1}{2}\] $両辺に \ \ 2^{m+1}\ \ をかけて$
\[1+ \sum_{k=1}^m \dfrac{{}_{m+k}C_k}{2^k}=2^m\] \[よって \quad \sum_{k=1}^m \dfrac{{}_{m+k}C_k}{2^k}=2^m-1\]
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\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}