浜松医科大学 2024年　問題1(2)


$(2)\ \ 鋭角三角形の \ 3\ つの内角を \ A,\ B,\ C\ とおく。以下の問いに答えよ。$
$\ \ (a) 等式 \quad \tan A +\tan B +\tan C =\tan A \tan B \tan C \quad を証明せよ。$
$\ \ (b) 不等式 \quad \cfrac{1}{\tan A} + \cfrac{1}{\tan B} + \cfrac{1}{\tan C} \geqq \sqrt{3} \quad を証明せよ。$
$\quad また、等号が成り立つときの鋭角三角形の条件を求めよ。$


(a)


\begin{eqnarray*} & &\tan A +\tan B +\tan C \\ \\ &=&\big(\cfrac{\sin A}{\cos A}+ \cfrac{\sin B}{\cos B}\big)+ \cfrac{\sin C}{\cos C}\\ \\ &=&\cfrac{\sin A \cos B+ \cos A \sin B}{\cos A\cos B} + \cfrac{\sin C}{\cos C}\\ \\ &=&\cfrac{\sin (A + B)}{\cos A\cos B} + \cfrac{\sin C}{\cos C}\\ \\ &=&\cfrac{\sin (\pi -C)}{\cos A\cos B} + \cfrac{\sin C}{\cos C}\\ \\ &=&\cfrac{\sin C}{\cos A\cos B \cos C} (\cos C + \cos A \cos B)\\ \\ &=&\cfrac{\sin C}{\cos A\cos B \cos C} \times \big\{\cos C + \dfrac{1}{2}\big(\cos (A+B) + \cos (A-B)\big)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{\sin C}{\cos A\cos B \cos C} \times \big\{\cos C + \dfrac{1}{2}\big(\cos (\pi -C) + \cos (A-B)\big)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{\sin C}{\cos A\cos B \cos C} \times \dfrac{1}{2}\big(\cos C + \cos (A-B)\big)\\ \\ &=&\cfrac{\sin C}{\cos A\cos B \cos C} \times \cos \dfrac{C+A-B}{2} \cos \dfrac{C-A+B}{2}\\ \\ &=&\cfrac{\sin C}{\cos A\cos B \cos C} \times \cos \dfrac{\pi -2B}{2} \cos \dfrac{\pi- 2A}{2}\\ \\ &=&\cfrac{\sin C}{\cos A\cos B \cos C} \times \cos (\dfrac{\pi}{2} -B) \cos (\dfrac{\pi}{2}- A)\\ \\ &=&\cfrac{\sin C}{\cos A\cos B \cos C} \times \sin B \sin A\\ \\ &=&\tan A \tan B \tan C \end{eqnarray*}

(b)


$p=\cfrac{1}{\tan A},\quad q=\cfrac{1}{\tan B},\quad r=\cfrac{1}{\tan C} \quad とおく$

$A,\ B,\ C\ は鋭角三角形の \ 3\ つの内角だから \quad 0 < A < \cfrac{\pi}{2},\ \ 0 < B < \cfrac{\pi}{2}, \ \ 0 < C < \cfrac{\pi}{2}$

$よって \quad \tan A > 0,\quad \tan B > 0,\quad \tan C > 0 \quad より \quad p > 0,\ \ q > 0,\ \ r > 0$

$(a) より \quad \tan A +\tan B +\tan C =\tan A \tan B \tan C \quad だから$

$\cfrac{1}{p} +\cfrac{1}{q} +\cfrac{1}{r} =\cfrac{1}{pqr}$

$両辺に \ \ pqr \ \ をかけて \quad qr+rp+pq=1$

$このとき$
\begin{eqnarray*} & &\big(\cfrac{1}{\tan A} + \cfrac{1}{\tan B} + \cfrac{1}{\tan C}\big)^2-3\\ \\ &=&(p+q+r)^2-3\\ \\ &=&(p + q + r)^2-3(qr+rp+pq)\\ \\ &=&p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+rp)-3(pq+qr+rp)\\ \\ &=&p^2+q^2+r^2-(pq+qr+rp)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}(2p^2+2q^2+2r^2-2pq -2qr -2rp)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\big\{(p-q)^2+(q-r)^2+(r-p)^2 \big\} \\ \\ &\geqq& 0 \end{eqnarray*}
$p+q+r > 0 \quad だから \quad p+q+r \geqq \sqrt{3}$

$したがって \quad \cfrac{1}{\tan A} + \cfrac{1}{\tan B} + \cfrac{1}{\tan C} \geqq \sqrt{3} $

$等号は$

$p=q=r \ \ のときだから \quad 　p+q+r=\sqrt{3} \quad より \quad p=q=r=\cfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan A=\tan B=\tan C=\sqrt{3} \qquad \therefore \ \ A=B=C=\cfrac{\pi}{3}$

$よって、この鋭角三角形は正三角形である。$


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\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}