浜松医科大学 2024年 問題1(1)
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a,\ b,\ c\ を正の実数とする。このとき、不等式$
$ \hspace{5em} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geqq abc(a+b+c)$
$\quad を証明せよ。また、等号が成り立つときの \ a,\ b,\ c\ の条件を求めよ。$
\begin{eqnarray*} & &a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 -abc(a+b+c)\\ \\ &=&(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2-(ab)(bc)-(bc)(ca)-(ca)(ab)\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\big\{2(ab)^2+2(bc)^2+2(ca)^2-2(ab)(bc)-2(bc)(ca)-2(ca)(ab)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{2}\big\{(ab - bc)^2+ (bc -ca)^2 +(ca -ab)^2\big\}\\ \\ &\geqq 0 \end{eqnarray*}
$等号は$
$ab=bc=ca \quad のとき、すなわち$
$ab=bc \quad より \quad b(a-c)=0 \qquad b > 0 \quad だから \quad a=c $
$bc=ca \quad より \quad c(a-b)=0 \qquad c > 0 \quad だから \quad a=b $
$よって \quad a=b=c \quad のとき$
$(補充)$
$設問の不等式は、次の基本的な絶対不等式$
$a^2+b^2+c^2 \geqq ab+bc+ca \quad において、$
$\quad a \longrightarrow ab,\quad b \longrightarrow bc,\quad c \longrightarrow ca$
$とおいたものである。$
$もし、このことに気づかなかった場合は、「苦しいときの平方完成」という手がある。$
$(別解)$
\begin{eqnarray*} P &=&a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 -abc(a+b+c)\\ \\ &=&(b^2+c^2-bc)a^2-bc(b+c)a+b^2c^2\\ \\ &=&(b^2+c^2-bc)\big\{a^2-\cfrac{bc(b+c)}{b^2+c^2-bc}a\big\} +b^2c^2\\ \\ &=&(b^2+c^2-bc) \big(a-\cfrac{bc(b+c)}{2(b^2+c^2-bc)}\big)^2-\cfrac{b^2c^2(b+c)^2}{4(b^2+c^2-bc)}+b^2c^2\\ \\ &=&(b^2+c^2-bc) \big(a-\cfrac{bc(b+c)}{2(b^2+c^2-bc)}\big)^2 + b^2c^2 \big\{ 1- \cfrac{(b+c)^2}{4(b^2+c^2-bc)} \big\}\\ \\ &=&(b^2+c^2-bc) \big(a-\cfrac{bc(b+c)}{2(b^2+c^2-bc)}\big)^2 + b^2c^2 \times \cfrac{4(b^2+c^2-bc)-(b+c)^2}{4(b^2+c^2-bc)} \\ \\ &=&(b^2+c^2-bc) \big(a-\cfrac{bc(b+c)}{2(b^2+c^2-bc)}\big)^2 + b^2c^2 \times \cfrac{3b^2+3c^2-6bc }{4(b^2+c^2-bc)} \\ \\ &=&(b^2+c^2-bc) \big(a-\cfrac{bc(b+c)}{2(b^2+c^2-bc)}\big)^2 + \cfrac{3b^2c^2(b-c)^2}{4(b^2+c^2-bc)} \\ \end{eqnarray*}
$ここで、 b^2+c^2-bc=\cfrac{1}{2}(2b^2+2c^2-2bc)=\cfrac{1}{2}\big((b-c)^2+b^2+c^2 \big) >0 \quad だから$
$P \geqq 0$
$ただし、等号は \quad b=c \quad かつ \quad a=\cfrac{bc(b+c)}{2(b^2+c^2-bc)} \quad のとき$
$b=c \ \ を代入して \quad a=\cfrac{b^2 \times 2b}{2(2b^2-b^2)}=\cfrac{2b^3}{2b^2}=b$
メインメニュー に戻る
\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}