群馬大学(理系) 2024年 問題3
$数列 \ \{a_n\}\ は次の条件によって定められている。\ \ a_1=2,\ \ a_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n}a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ a_2,\ a_3,\ a_4\ \ を求めよ。$
$(2)\ \ 数列 \ \{a_n\}\ の一般項を求めよ。$
\[(3)\ \ 和 \ \sum_{k=1}^n a_k \ \ を求めよ。\]
(1)
$a_2=\cfrac{2}{3}a_1=\cfrac{2}{3} \times 2=\cfrac{2 \times 2}{3}$
$a_3=\cfrac{3}{3\times 2}a_2=\cfrac{3}{3 \times 2} \times \cfrac{2 \times 2}{3}=\cfrac{2 \times 3}{3^2}$
$a_4=\cfrac{4}{3\times 3}a_3=\cfrac{4}{3 \times 3} \times \cfrac{2 \times 3}{3^2}=\cfrac{2 \times 4}{3^3}$
(2)
$(1)より \ \ a_n=\cfrac{2n}{3^{n-1}}\ \ と推定できるので、これが正しいことを数学的帰納法で証明する。$
(i)$\ \ n=1 \quad のとき$
$左辺=a_1=2,\qquad 右辺=\cfrac{2 \times 1}{3^0}=2 \quad よって\ \ n=1\ のとき成りたつ$
(ii)$\ \ n=k \ のとき成りたつとすると \quad a_k=\cfrac{2k}{3^{k-1}}$
$このとき$
\begin{eqnarray*} a_{k+1} &=&\cfrac{k+1}{3k} \times a_k\\ \\ &=&\cfrac{k+1}{3k} \times \cfrac{2k}{3^{k-1}}\\ \\ &=&\cfrac{2(k+1)}{3^k} \end{eqnarray*}
$よって\quad n=k+1 \ \ のときも成りたつ$
(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について \quad a_n=\cfrac{2n}{3^{n-1}}$
$(別解)\quad 漸化式の解法$
$(解法\ 1)$
$a_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n}a_n \ \ より \quad \cfrac{a_{n+1}}{n+1}=\cfrac{1}{3} \times \cfrac{a_n}{n}$
$b_n=\cfrac{a_n}{n} \quad とおくと$
$b_1=a_1=2$
$b_{n+1}=\cfrac{1}{3}b_n$
$\therefore \ \ b_n=2\big(\dfrac{1}{3}\big)^{n-1}=\cfrac{2}{3^{n-1}}$
$よって \quad a_n=nb_n=\cfrac{2n}{3^{n-1}}$
$(解法\ 2)$
\begin{eqnarray*} a_n &=&\cfrac{n}{3(n-1)}a_{n-1}\\ \\ &=&\cfrac{n}{3(n-1)} \times \cfrac{n-1}{3(n-2)}a_{n-2}\\ \\ &=&\cfrac{n}{3(n-1)} \times \cfrac{n-1}{3(n-2)} \times \cfrac{n-2}{3(n-3)}a_{n-3}\\ \\ & &\qquad \vdots \\ \\ &=&\cfrac{n}{3(n-1)} \times \cfrac{n-1}{3(n-2)} \times \cfrac{n-2}{3(n-3)} \times \cdots \times \cfrac{n-(n-2)}{3(n-(n-1))}a_1\\ \\ &=&\cfrac{n}{3^{n-1}} \times 2\\ \\ &=&\cfrac{2n}{3^{n-1}} \end{eqnarray*}
(3)
\[S_n=\sum_{k=1}^n a_k \ \ とおくと\]
$S_n=\cfrac{2 \times 1}{3^0}+\cfrac{2 \times 2}{3^1}+\cfrac{2 \times 3}{3^2}+ \cdots +\cfrac{2 \times n}{3^{n-1}}$
$\cfrac{1}{3}S_n=\cfrac{2 \times 1}{3^1}+\cfrac{2 \times 2}{3^2}+\cfrac{2 \times 3}{3^3}+ \cdots +\cfrac{2 \times (n-1)}{3^{n-1}}+ \cfrac{2 \times n}{3^n}$
$辺々引いて$
\begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3}S_n &=&2+\cfrac{2}{3^1}+\cfrac{2}{3^2}+ \cdots +\cfrac{2}{3^{n-1}}- \cfrac{2n}{3^n}\\ \\ &=&\cfrac{2\big\{1-(\dfrac{1}{3})^n\big\}}{1-\dfrac{1}{3}}- \cfrac{2n}{3^n}\\ \\ &=&3\big(1-\cfrac{1}{3^n}\big) - \cfrac{2n}{3^n}\\ \\ &=&3-\cfrac{2n+3}{3^n}\\ \end{eqnarray*}
\[\therefore \ \ S_n= \sum_{k=1}^n a_k=\cfrac{3}{2}\big(3-\cfrac{2n+3}{3^n}\big)\]
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