群馬大学(理系) 2024年 問題1
$1\ 個のさいころを \ 3\ 回続けて投げるとき、出た目の数を順に \ a,\ b,\ c\ とおく。以下の問に答えよ。$
$(1)\ \ a,\ b,\ c\ のうち、少なくとも \ 2\ つは偶数である確率を求めよ。$
$(2)\ \ 積 \ abc\ が \ 60\ である確率を求めよ。$
$(3)\ \ 2\ 次方程式 \ \ x^2-(a+b)x+c=0\ \ が虚数解をもつ確率を求めよ。$
(1)
$少なくとも \ 2\ つは偶数である事象は$
(i)$\ \ 2\ つは偶数、1つは奇数である場合$
$\quad p_1={}_3C_2 \times (\cfrac{1}{2})^2 \times \cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{8}$
(ii)$\ \ 3\ つとも偶数である場合$
$\quad p_2=(\cfrac{1}{2})^3 =\cfrac{1}{8}$
(i),(ii)$\ \ は互いに排反だか、少なくとも \ 2\ つは偶数である確率は$
$P=p_1+p_2=\cfrac{3}{8} + \cfrac{1}{8}=\cfrac{1}{2}$
(2)
$60=2^2 \times 3 \times 5 \quad だから\ 積 \ abc\ が$
(i)$\ \ 3 \times 4 \times 5 \quad の場合$
$\quad a,\ b,\ c\ の目の出かたは \ \ 3,\ 4,\ 5\ のいずれかであるから \ \ 3!\ 通り$
$\quad p_1=3! \times \big(\cfrac{1}{6} \big)^3$
(ii)$\ \ 2 \times 5 \times 6 \quad の場合$
$\quad a,\ b,\ c\ の目の出かたは \ \ 2,\ 5,\ 6\ のいずれかであるから \ \ 3!\ 通り$
$\quad p_2=3! \times \big(\cfrac{1}{6} \big)^3$
(i),(ii)$\ \ は互いに排反だから、abc\ が \ 60\ である確率は$
$P=p_1+p_2=2 \times 3! \times \big(\cfrac{1}{6} \big)^3=2 \times \big(\cfrac{1}{6} \big)^2=\cfrac{1}{18}$
(3)
$x^2-(a+b)x+c=0\ \ が虚数解をもつ条件は$
$D=(a+b)^2-4c < 0 \ \ だから \quad c > \cfrac{1}{4}(a+b)^2$
(i)$\ \ a+b=2 \quad の場合$
$\quad (a,\ b)=(1,\ 1)\ \ の \ 1\ 通り$
$\quad c > 1\ \ だから \quad c=2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\ の \ 5\ 通り$
$\quad a,\ b,\ c\ の目の出かたは \quad 1 \times 5 =5 \ 通り$
(ii)$\ \ a+b=3 \quad の場合$
$\quad (a,\ b)=(1,\ 2),\ \ (2,\ 1)\ \ の \ 2\ 通り$
$\quad c > \cfrac{9}{4} \ \ だから \quad c=3,\ 4,\ 5,\ 6 \ の \ 4\ 通り$
$\quad a,\ b,\ c\ \ の目の出かたは \quad 2 \times 4 =8 \ 通り$
(iii)$\ \ a+b=4 \quad の場合$
$\quad (a,\ b)=(1,\ 3),\ \ (2,\ 2),\ \ (3,\ 1)\ \ の \ 3\ 通り$
$\quad c > 4 \ \ だから \quad c=5,\ 6\ の \ 2\ 通り$
$\quad a,\ b,\ c\ \ の目の出かたは \quad 3 \times 2 =6\ 通り$
(iv)$\ \ a+b=5 \ \ 以上の場合$
$\quad c>\cfrac{25}{4} > 6 \ \ だから これらの場合はない$
(i),(ii),(iii)$\ \ は互いに排反だから、x^2-(a+b)x+c=0\ \ が虚数解をもつ確率は$
$P=p_1+p_2+p_3=(5+8+6) \times \big(\cfrac{1}{6}\big)^3=\cfrac{19}{216}$
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