群馬大学(医学) 2024年　問題5


\[n\ は自然数とし、a\ は \ 0 < a \leqq 1 \ を満たす定数とする。I_n=\dfrac{1}{n!} \int_0^a (a-x)^n e^x dx \ \ とおく。\] $ただし、e\ は自然対数の底である。$
$(1)\ \ I_1 \ \ を求めよ。$
\[(2)\ \ 極限 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} I_n \ \ を求めよ。\] $(3)\ \ I_{n+1} \ を \ I_n \ を用いて表せ。$
\[(4)\ \ (3)までの結果を用いて、無限級数 \ \ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a^n}{n!} \ \ の和を求めよ。\]


(1)


\begin{eqnarray*} I_1 &=&\int_0^a (a-x) e^x dx \\ \\ &=&\big[(a-x)e^x \big]_0^a + \int_0^a e^x dx \\ \\ &=&-a + \big[e^x \big]_0^a \\ \\ &=&-a+e^a-1\\ \\ &=&e^a -a-1 \end{eqnarray*}

(2)


$0 \leqq x \leqq a \quad のとき \quad 1 \leqq e^x \leqq e^a \quad だから$

\begin{eqnarray*} |I_n| &=&\Big|\dfrac{1}{n!} \int_0^a (a-x)^n e^x dx \Big|\\ \\ & \leqq & \dfrac{1}{n!} \int_0^a \big|(a-x)^n e^x \big|dx\\ \\ & \leqq & \dfrac{e^a}{n!} \int_0^a (a-x)^n dx\\ \\ &=& \dfrac{e^a}{n!} \big[-\dfrac{1}{n+1} (a-x)^{n+1}\big]_0^a\\ \\ &=& \dfrac{e^a}{n!} \times \dfrac{a^{n+1}}{n+1}\\ \\ &=& \dfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!}\ \end{eqnarray*}
$0 < a \leqq 1 \quad だから \quad 0 < a^{n+1} \leqq 1 $

$n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad |I_n| \longrightarrow 0$

\[よって \quad \lim_{n \rightarrow \infty} I_n =0\]

(3)


\begin{eqnarray*} I_{n+1} &=&\dfrac{1}{(n+1)!} \int_0^a (a-x)^{n+1} e^x dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{(n+1)!} \big\{\big[(a-x)^{n+1} e^x\big]_0^a +\int_0^a (n+1)(a-x)^n e^xdx \big\}\\ \\ &=&\dfrac{1}{(n+1)!} \big\{-a^{n+1} + (n+1)\int_0^a (a-x)^n e^xdx \big\}\\ \\ &=&-\dfrac{a^{n+1}}{(n+1)!} + \dfrac{1}{n!}\int_0^a (a-x)^n e^xdx \\ \\ &=&-\dfrac{a^{n+1}}{(n+1)!} + I_n \\ \end{eqnarray*}

(4)


$(3)より　I_{n+1}- I_n =-\dfrac{a^{n+1}}{(n+1)!} \quad だから$

\begin{eqnarray*} I_n &=&I_1-\sum _{k=1}^{n-1}\dfrac{a^{k+1}}{(k+1)!}\\ \\ &=&I_1-\sum _{k=2}^n\dfrac{a^k}{k!}\\ \\ &=&I_1+a -\sum _{k=1}^n\dfrac{a^k}{k!}\\ \\ &=&(e^a -a-1) + a -\sum _{k=1}^n\dfrac{a^k}{k!}\\ \\ &=&e^a -1 -\sum _{k=1}^n\dfrac{a^k}{k!}\\ \end{eqnarray*}
$n \longrightarrow \infty \quad とすると (2)より\quad I_n \longrightarrow 0 \quad だから$

\[\sum _{k=1}^{\infty}\dfrac{a^k}{k!}=e^a-1\]
$k \ をあらためて \ n\ と置き換えると$

\[\sum _{n=1}^{\infty}\dfrac{a^n}{n!}=e^a-1\]

$(補充)$

\[\dfrac{a^0}{0!}=1 \quad だから \quad \sum _{n=0}^{\infty}\dfrac{a^n}{n!}=e^a\]
$a\ をあらためて \ x\ と置き換えると$

\[e^x=\sum _{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\]
$これは \ e^x \ のテーラー展開です。$

$e^x \ とテーラー級数の差を剰余項といいますが、これは積分型剰余項が与えられた設問です。$


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