福島県立医科大学 2024年 問題1(4)
$サイコロを \ 5\ 回投げ、5\ つの出た目の積を \ X\ とする。X\ の正の約数の個数が \ 6\ 個になる場合は何通りあるか。$
$(迷い)$
$求める場合の数は、「X」かまたは「サイコロの目の出かた」か問題文を読んだだけでは私には判別できません。$
$サイコロの目の出かたの個数を求めるには、前もって \ X\ を具体的に求める必要があります。$
$小問だけに、非常に悩ましい問題文です。$
$まずは、具体的に \ X\ を求めます。$
$積 \ X\ を素因数分解したときの素因数の個数で場合分けする。$
$(1)\ \ 素因数が \ 1\ 個の場合$
$\quad サイコロの目のうち、素数は \ 2,\ 3,\ 5\ であるから \ 5\ 回ともすべて \ 2,\ 3,\ 5\ の目が出る。$
$\quad したがって \quad X=2^5,\quad 3^5,\quad 5^5 \quad の \ 3\ 通り$
$(2)\ \ 素因数が \ 2\ 個の場合$
$\quad \{2,\ 3,\ 5\}\ から \ 2\ 個の素数を選ぶ選び方は \ \{2,\ 3\},\ \{2,\ 5\},\ \{3,\ 5\}\ の \ 3\ 通り$
$\quad 例えば \quad \{2,\ 3\}\ \ の場合は$
$\quad X=2^p3^q \ \ (p=1,\ 2,\ 3,\ 4\ ;\ q=1,\ 2,\ 3,\ 4)\ となるから \ X\ の約数の個数は \quad (p+1)(q+1)\ 個$
$\quad (p+1)(q+1)=6 \quad を満たす \ p,\ q \ は$
\[\quad \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} p+1=2,\quad 3\\ q+1=3,\quad 2\ \end{array} \right. \] $\quad \therefore \ \ (p,\ q)=(1,\ 2),\ \ (2,\ 1)$
$\quad よって \quad X=2 \times 3^2=18,\quad X=2^2 \times 3=12$
$\quad 同様にして$
$\quad \{2,\ 5\}の場合は \quad X=2 \times 5^2=50,\quad X=2^2 \times 5=20$
$\quad \{3,\ 5\}の場合は \quad X=3 \times 5^2=75,\quad X=3^2 \times 5=45$
$(3)\ \ 素因数が \ 3\ 個の場合$
$\quad X=2^p3^q 5^r \ \ (p=1,\ 2,\ 3,\ 4\ ;\ q=1,\ 2,\ 3,\ 4 \ ;\ r=1,\ 2,\ 3,\ 4)\ となるから \ X\ の約数の個数は$
$\quad (p+1)(q+1)(r+1)\ 個$
$\quad ところが \quad (p+1)(q+1)(r+1)=6 \quad を満たす整数 \ p,\ q ,\ r\ は \ 6\ の約数が \ 2\ と \ 3\ の \ 2\ つだからない$
$(1),(2),(3) \ \ より \quad X=12,\ 18,\ 20,\ 32,\ 45,\ 50,\ 75,\ 3^5,\ 5^5 \ の \ 9\ 通り$
$次に、サイコロの目の出かたの個数を求めます。$
$(1)\ \ X=3^5,\ \ 5^5 \ \ の場合$
$\quad (3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3),\ \ (5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5) \ \ それぞれ \ 1\ 通りで、合わせて \ 2\ 通り$
$(2)\ \ X=32=2^5=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \ \ の場合$
(i)$\ \ X=2^5 \ は \ \ (2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2)\ \ の \ 1\ 通り$
(ii)$\ \ X=4 \times 2^3 \ は \ \ (4,\ 2,\ 2,\ 2,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_1 \times {}_4C_3=20 \ 通り$
(iii)$\ \ X=4 \times 4 \times 2 \ は \ \ (4,\ 4,\ 2,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_2 \times {}_3C_1=30\ 通り$
$\quad $ (i),(ii),(iii)$合わせて \ \ 51\ 通り$
$(3)\ \ X=12=2 \times 2 \times 3 \ \ の場合$
(i)$\ \ X=2^2 \times 3 \ は \ \ (2,\ 2,\ 3,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_2 \times {}_3C_1=30\ 通り$
(ii)$\ \ X=4 \times 3 \ は \ \ (4,\ 3,\ 1,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_1 \times {}_4C_1=20\ 通り$
(iii)$\ \ X=2 \times 6 \ は \ \ (2,\ 6,\ 1,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_1 \times {}_4C_1=20 \ 通り$
$\quad $(i),(ii),(iii)$合わせて \ \ 70\ 通り$
$(4)\ \ X=18=2 \times 3 \times 3 \ \ の場合$
(i)$\ \ X=2 \times 3^2 \ は \ \ (2,\ 3,\ 3,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_1 \times {}_4C_2=30\ 通り$
(ii)$\ \ X=6 \times 3 \ は \ \ (6,\ 3,\ 1,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_1 \times {}_4C_1=20\ 通り$
$\quad $(i),(ii)$合わせて \ \ 50\ 通り$
$(5)\ \ X=20=2 \times 2 \times 5 \ \ の場合$
(i)$\ \ X=2^2 \times 5 \ は \ \ (2,\ 2,\ 5,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_2 \times {}_3C_1=30\ 通り$
(ii)$\ \ X=4 \times 5 \ は \ \ (4,\ 5,\ 1,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_1 \times {}_4C_1=20\ 通り$
$\quad$ (i),(ii)$合わせて \ 50\ 通り$
$(6)\ \ X=45=3 \times 3 \times 5 \ \ の場合$
(i)$\ \ X=3^2 \times 5 \ は \ \ (3,\ 3,\ 5,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_2 \times {}_3C_1=30\ 通り$
$(7)\ \ X=50=2 \times 5 \times 5 \ \ の場合$
(i)$\ \ X=2 \times 5^2 \ は \ \ (2,\ 5,\ 5,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_1 \times {}_4C_2=30\ 通り$
$(8)\ \ X=75=3 \times 5 \times 5 \ \ の場合$
(i)$\ \ X=3 \times 5^2 \ は \ \ (3,\ 5,\ 5,\ 1,\ 1) \ \ で \quad {}_5C_1 \times {}_4C_2=30\ 通り$
$以上\ (1)～(8)\ 全部で \quad 313\ 通り$
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