福島県立医科大学 2024年 問題1(3)
$関数f \ (x)\ を、f(0)=0,\ \ f(x)=x^2\cos \dfrac{1}{x}\ \ (x \ne 0 \ のとき)\ \ と定める。導関数 \ f'(x)\ が存在するか調べよ。また、$
$導関数 \ f'(x)\ が存在する場合、その導関数 \ f'(x)\ の連続性を調べよ。$
$(1)\ \ 導関数 \ f'(x) \ の存在 \ \ (微分可能性)$
(i)$\ \ x \ne 0 \quad のとき $
$\quad x^2 \ と \ \cos \dfrac{1}{x}\ は微分可能だから それらの積 \ \ x^2 \cos \dfrac{1}{x}\ も微分可能で導関数は存在する。$
(ii)$\ \ x=0 \quad のとき$
\begin{eqnarray*} & &\big|\cfrac{f(h)-f(0)}{h-0}\big|\\ \\ &=&\big|\cfrac{f(h)}{h}\big|\\ \\ &=&\big|h\cos \cfrac{1}{h}\big|\\ \\ &=&|h|\ \big|\cos \cfrac{1}{h}\big|\\ \\ &\leqq & |h|\\ \end{eqnarray*}
$\quad よって \quad 0 \leqq \big|\cfrac{f(h)-f(0)}{h-0}\big| \leqq |h|$
$\quad h \longrightarrow 0 \quad とすると \quad |h| \longrightarrow 0 \quad だから \ \ はさみうちの原理により \quad \big|\cfrac{f(h)-f(0)}{h-0}\big| \longrightarrow 0$
$\quad したがって \quad f(x)\ は \ x=0\ で微分可能で \quad f'(0)=0$
(i),(ii)$\ \ より \ すべての実数 \ x\ に対してf(x) は連続で、導関数 \ f'(x)\ は存在する。$
$(2)\ \ 導関数 \ f'(x)\ の連続性$
(i)$ \ \ x \ne 0 \quad のとき$
\begin{eqnarray*} \quad f'(x) &=&2x \cos \dfrac{1}{x}+x^2 (-\sin \dfrac{1}{x}) (-\dfrac{1}{x^2})\\ \\ &=&2x\cos \dfrac{1}{x}+\sin \dfrac{1}{x} \end{eqnarray*} $\quad x\cos \dfrac{1}{x}\ \ と \ \ \sin \dfrac{1}{x}\ \ は \ x \ne 0 \ \ では連続だから \ f'(x)\ は連続である。$
(ii)$\ \ x=0 \quad のとき$
$\quad (1)より \quad f'(0)=0 \ \ であるが、f'(x)=2x\cos \dfrac{1}{x}+\sin \dfrac{1}{x} \ \ において$
$\quad \sin \dfrac{1}{x} \ \ は、x_n=\cfrac{1}{2n\pi} ,\quad x'_n=\cfrac{1}{(2n+\dfrac{1}{2})\pi} \quad とすると$
$\quad \sin \dfrac{1}{x_n}=\sin 2n\pi=0,\qquad \sin \dfrac{1}{x'_n}=\sin (2n+\dfrac{1}{2})\pi=1$
$\quad n \longrightarrow \infty \ \ のとき \ \ x \longrightarrow 0 \ \ であるが、 \sin \dfrac{1}{x}\ \ は一定の値に近づかない。$
(i),(ii)$ \ \ より \quad f'(x）は\ x \ne 0\ では連続であるが、x=0 \ では連続でない。$
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